Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\N \times \N}{} als Teilmenge von
\mathl{\R \times \R}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \{ \text{Studienrat}, \text{Oberstudienrat}, \text{Studiendirektor}, \text{Referendar} \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { \{ \text{Müller}, \text{Maier}, \text{Sengupta}, \text{Hinterwald} , \text{Lutz}, \text{Obermüller} \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus welchen Elementen besteht
\mathl{T \times N}{?} Kann man die Paarschreibweise hier umgehen?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Black cat sitting on a round straw bale.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?} }
\bildlizenz { Black cat sitting on a round straw bale.jpg } {} {Flickr upload bot} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe für je zwei \zusatzklammer {einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird} {} {} der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen. \aufzaehlungvier{Ein Geradenstück $I$. }{Eine Kreislinie $K$. }{Eine Kreisscheibe $D$. }{Eine Parabel $P$. } Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
}
{} {}
Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
\definitionsverweis {disjunkte Mengen}{}{}
und $C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C \times (A \uplus B)
}
{ =} { ( C \times A) \uplus ( C \times B )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) }
}
{ =} { A \times B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_1,A_2
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B_1,B_2
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A_1 \times B_1 \right) } \cap { \left( A_2 \times B_2 \right) }
}
{ =} { { \left( A_1 \cap A_2 \right) } \times { \left( B_1 \cap B_2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
\definitionsverweis {disjunkte Mengen}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(A \uplus B) \times (A \uplus B)
}
{ =} {( A \times A) \uplus ( A \times B) \uplus (B \times A) \uplus (B \times B)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\tau} {L \times M} { M \times L } {(x,y)} { (y,x) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} zwischen den Produktmengen \mathkor {} {L \times M} {und} {M \times L} {} festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungsechs{${ \left\{ (x,y) \mid x+y = 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x+y \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid (x+y)^2 \geq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x+2 } \geq 5 \text{ und } \betrag { y-2 } \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x } = 0 \text{ und } \betrag { y^4-2y^3+7y-5 } \geq -1 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -1 \leq x \leq 3 \text{ und } 0 \leq y \leq x^3 \right\} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen für das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sehen die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Funktionen \maabb {f} {\R} { \R } {} aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non-injective function.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non-injective function.svg } {} {Fulvio314} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $F$ die Menge aller Farben und $\star$ die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{,} die aus zwei Farben ihre Mischfarbe bestimmt, in der die beiden Farben mit gleichen Anteilen eingehen. Ist diese Verknüpfung \definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $N$ die Menge aller Vornamen. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {} {N \times N} {N
} {,}
die einem Vornamenpaar
\mathl{(x,y)}{} den Bindestrichvornamen
\mathl{x-y}{} zuordnet.
\aufzaehlungsieben{Was ist der Wert von
\mathl{(\text{Kata},\text{Coline})}{} unter dieser Verknüpfung?
}{In welchem Sinne muss man hier Vornamen verstehen, damit diese Verknüpfung wohldefiniert ist?
}{Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {kommutativ}{}{?}
}{Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}{Besitzt die Verknüpfung ein
\definitionsverweis {neutrales Element}{}{?}
Bzw. wie muss man $N$ und die Verknüpfung abändern, damit sie ein neutrales Element besitzt?
}{Ist die Verknüpfung surjektiv?
}{Ist die Verknüpfung injektiv?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge aller weiblichen Doppelvornamen
\zusatzklammer {Bindestrichvornamen, wobei die einzelnen Teile einfache Vornamen sind, und jede Kombination erlaubt ist} {} {.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {} {M \times M} {M
} {,}
die einem Doppelvornamenpaar
\mathl{(A-B,C-D)}{} den Doppelvornamen
\mathl{A-D}{} zuordnet.
\aufzaehlungsechs{Was ist der Wert von
\mathl{(\text{Lea-Marie},\text{Klara-Sophie})}{} unter dieser Verknüpfung?
}{Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {kommutativ}{}{?}
}{Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}{Besitzt die Verknüpfung ein
\definitionsverweis {neutrales Element}{}{?}
}{Ist die Verknüpfung surjektiv?
}{Ist die Verknüpfung injektiv?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} darauf, die wir als Produkt schreiben. \aufzaehlungzwei {Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen? } {Die Verknüpfung sei nun \definitionsverweis {assoziativ}{}{.} Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {k} {und} {n} {} natürliche Zahlen. Zeige, dass die \zusatzklammer {Nachfolger} {-} {}Abbildung \maabbeledisp {} {\{ k , \ldots , n\} } {\{ k^\prime , \ldots , n^\prime\} } {i} {i^ \prime } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von $\N$.
\aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\{ {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} , \ldots , {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} \}} { . }
}{
\mathdisp {\{ 1201 , \ldots , 21010 \}} { }
\zusatzklammer {im Dreiersystem} {} {.}
}{
\mathdisp {\{ \text{überübermorgen} , \ldots , \text{überüberüberüberüberüberübermorgen} \}} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann $n$ als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir zählen
\mathdisp {\text{ heute},\, \text{ morgen},\, \text{ übermorgen}, \, \text{überübermorgen}, \, \text{überüberübermorgen}, \ldots} { }
und wollen mit diesen Zahlen addieren.
\aufzaehlungfuenf{Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell?
}{Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist.
}{Was ist morgen plus morgen?
}{Was ist übermorgen plus übermorgen?
}{Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Auf wie viele Arten kann man die $5$ als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen
\zusatzklammer {Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich;
\mathl{5=5}{} ist eine Darstellung} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl $n$, also %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $1$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $3$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $\ldots$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ $n-1$ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ $n$ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ $+$ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $1$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $3$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $\ldots$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $n-1$ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ $n$ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 1+1 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 1+2 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 1+3 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 1+n-1 }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ 1+n }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 2+1 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 2+2 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2+3 }
\renewcommand{\azweixvier}{ \ldots }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ 2+n-1 }
\renewcommand{\azweixsechs}{ 2+n }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 3+1 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 3+2 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 3+3 }
\renewcommand{\adreixvier}{ \ldots }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ 3+n-1 }
\renewcommand{\adreixsechs}{ 3+n }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxvier}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxsechs}{ \vdots }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ n-1+1 }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ n-1+2 }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ n-1+3 }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ n-1+n-1 }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ n-1+n }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ n+1 }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ n+2 }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ n+3 }
\renewcommand{\asechsxvier}{ \ldots }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ n+n-1 }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ n+n }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxsechs
Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich
\mathl{(n+1)n^2}{} ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ 1 \leq i \leq n,\,1\leq j \leq n} (i+j)
}
{ =} { (n+1)n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungfuenf{Ist die Addition \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(x,y)} { x+y } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{?} Ist sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{?} }{Ist die Multiplikation \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(x,y)} { x \cdot y } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{?} Ist sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{?} }{Ist die Multiplikation \maabbeledisp {} {\N_{\geq 2} \times \N_{\geq 2}} {\N_{\geq 2} } {(x,y)} { x \cdot y } {,} auf den natürlichen Zahlen $\geq 2$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?} Ist sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{?} }{Kennen Sie eine bijektive Verknüpfung? }{Gibt es eine \anfuehrung{allgemeine Erwartungstendenz}{,} ob eine Verknüpfung eher injektiv (surjektiv) oder nicht ist? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungvier{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { 2x } = 5 \text{ und } \betrag { y } \geq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -3x \geq 2y \text{ und } 4x \leq -5y \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid y^2-y+1 \leq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy = 2 \text{ oder } x^2+y^2 = 1 \right\} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {assoziativen}{}{}
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a \star b) \star( c \star (d \star e))
}
{ =} { a \star (( b \star (c \star d)) \star e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mathl{a,b,c,d,e \in M}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $*$. Zeige, dass es maximal ein \definitionsverweis {neutrales Element}{}{} für die Verknüpfung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathl{k,n}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , k \} } { \{1+n , \ldots , k+n \} } { i } { i+ n } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.
}
{} {Anleitung: Führe Induktion nach $n$ unter Verwendung von
Aufgabe 8.18.}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei
\definitionsverweis {endliche Teilmengen}{}{}
einer Menge $G$. Zeige, dass die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) } + { \# \left( N \right) }
}
{ =} { { \# \left( M \cup N \right) } + { \# \left( M \cap N \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Gilt für die Vereinigung von Mengen die \anfuehrung{Abziehregel}{,} d.h. kann man aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \cup C
}
{ = }{B \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schließen?
}
{} {}