Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 8



Die Pausenaufgabe

Skizziere die Produktmenge als Teilmenge von .




Übungsaufgaben

Es sei

und

Aus welchen Elementen besteht ? Kann man die Paarschreibweise hier umgehen?


Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

  1. Ein Geradenstück .
  2. Eine Kreislinie .
  3. Eine Kreisscheibe .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?


Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.

Es seien und disjunkte Mengen und eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit


Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Es seien und disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit


Es seien und Mengen. Zeige, dass die Abbildung

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen und festlegt.


Es sei eine Menge von Personen und die Menge der Vornamen von diesen Personen und die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von nach , nach und nach und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.


Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .


Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen für das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen.


Wie sehen die Graphen der Funktionen aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?


Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

ob injektiv bzw. surjektiv ist?


Es sei die Menge aller Farben und die Verknüpfung, die aus zwei Farben ihre Mischfarbe bestimmt, in der die beiden Farben mit gleichen Anteilen eingehen. Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Es sei die Menge aller Vornamen. Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Vornamenpaar den Bindestrichvornamen zuordnet.

  1. Was ist der Wert von unter dieser Verknüpfung?
  2. In welchem Sinne muss man hier Vornamen verstehen, damit diese Verknüpfung wohldefiniert ist?
  3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element? Bzw. wie muss man und die Verknüpfung abändern, damit sie ein neutrales Element besitzt?
  6. Ist die Verknüpfung surjektiv?
  7. Ist die Verknüpfung injektiv?


Es sei die Menge aller weiblichen Doppelvornamen (Bindestrichvornamen, wobei die einzelnen Teile einfache Vornamen sind, und jede Kombination erlaubt ist). Wir betrachten die Verknüpfung

die einem Doppelvornamenpaar den Doppelvornamen zuordnet.

  1. Was ist der Wert von unter dieser Verknüpfung?
  2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  4. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?
  5. Ist die Verknüpfung surjektiv?
  6. Ist die Verknüpfung injektiv?


Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

  1. Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
  2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.


Es seien und natürliche Zahlen. Zeige, dass die (Nachfolger-)Abbildung

bijektiv ist.


Bestimme in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von .

  1. (im Dreiersystem).


Es sei eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?


Wir zählen

und wollen mit diesen Zahlen addieren.

  1. Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell?
  2. Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist.
  3. Was ist morgen plus morgen?
  4. Was ist übermorgen plus übermorgen?
  5. Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen?


Auf wie viele Arten kann man die als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; ist eine Darstellung)?


Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl , also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also


  1. Ist die Addition

    injektiv? Ist sie surjektiv?

  2. Ist die Multiplikation

    injektiv? Ist sie surjektiv?

  3. Ist die Multiplikation

    auf den natürlichen Zahlen injektiv? Ist sie surjektiv?

  4. Kennen Sie eine bijektive Verknüpfung?
  5. Gibt es eine „allgemeine Erwartungstendenz“, ob eine Verknüpfung eher injektiv (surjektiv) oder nicht ist?


Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als schreiben. Zeige, dass

für beliebige gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung . Zeige, dass es maximal ein neutrales Element für die Verknüpfung gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist.

Anleitung: Führe Induktion nach unter Verwendung von Aufgabe 8.18.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei endliche Teilmengen einer Menge . Zeige, dass die Formel

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus auf schließen?


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