Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex

\setcounter{section}{36}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Stre\-ckung, Verschiebung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} von
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 2 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 17 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 10^{-4} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & 1 & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} derart, dass es $n \times n$-Matrizen
\mathl{A,B}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ = }{ E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \circ M }
{ = }{ E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dass $M$ \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{M \circ N}{} invertierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (M \circ N)^ {-1} }
{ =} { N^{-1} \circ M^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} Zeige, dass die Menge
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} der \definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Matrizen}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn es eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A }
{ = }{E_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij}(a) }
{ =} {E_{ n } + a B_{ij} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathl{M\circ N \circ L}{} schreiben kann, wobei $M$ und $L$ \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{} sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form $A_{ij}(1)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 8 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \\2 & 7 & -6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & 7 & -4 \\9 & 17 & -2 \end{pmatrix}} { }
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in ein lineares Gleichungssystem. } {Löse dieses lineare Gleichungssystem. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 }
{ =} {E_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.

c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die \definitionsverweis {linearen Gleichungssysteme}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\9 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}} { }
simultan.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 2 \\2 & -3 & 6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ 1 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in ein lineares Gleichungssystem. } {Löse dieses lineare Gleichungssystem. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse die \definitionsverweis {linearen Gleichungssysteme}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\11 \end{pmatrix}} { , }

\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_4 \\y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_5 \\y_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\-13 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_6 \\y_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\-1 \end{pmatrix}} { }
simultan durch Invertieren der Matrix.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Führe das Invertierungsverfahren für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.

}
{} {}