Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex

\setcounter{section}{41}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und \maabb {\varphi} {G} {H } {} sei ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi (e_G)= e_H}{} und
\mathl{(\varphi(g))^{-1} = \varphi (g^{-1})}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass \maabbeledisp {} {\Z} {\Z } {x} {ax } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{b \in K_+}{} ein positives Element. Zeige, dass die \definitionsverweis {ganzzahlige Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\Z} { (K\setminus \{0\}, \cdot,1) } {n} {b^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller invertierbaren $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

b) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass die Abbildung \maabbeledisp {} { M } { K^{\times} } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } { ad-bc } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} $\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von \mathkor {} {(K,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es bezeichne
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q^{\times} }
{ = }{ \Q \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \zusatzklammer {multiplikative} {} {} Einheitengruppe von $\Q$. Man gebe einen nichttrivialen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von \mathkor {} {\Q^{\times}} {nach} {(\Z,+,0)} {} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{d \in \N_{\geq 2}}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d) }
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi} { \Z/(d)} { \Z } {r} { r } {,}
\betonung{kein}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { \varphi^{-1}(e_H) }
{ =} { { \left\{ g \in G \mid \varphi(g)=e_H \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus $0$ besteht.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Stelle in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q \text{ mod } \Z}{} die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen \mathkor {} {0} {und} {1} {} dar. \aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 5 }{ 7 } }}{,} }{
\mathl{- { \frac{ 6 }{ 5 } }}{,} }{
\mathl{{ \frac{ 6 }{ 7 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen \zusatzklammer {in der Ebene um den Nullpunkt} {} {,} um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens $180$ Grad \zusatzklammer {höchstens eine Halbdrehung} {} {} mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden. \aufzaehlungfuenf{Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn. }{Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn. }{Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn. }{Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn. }{Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ParalleleGeradenEbene.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { ParalleleGeradenEbene.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subset }{\Q^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} parallelen Geraden eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $d$ ein Teiler von $n$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\psi} { \Z/(n) } { \Z/(d) } {} derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\Z & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z/(n) & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & \Z/(d) & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo $2$ und modulo $5$ besonders einfach berechnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {F} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf $G$. Es sei \maabb {\varphi} {G} {F } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus \maabb {\tilde{\varphi}} {G/\sim} { F } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} \circ p }
{ = }{ \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.5, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} aber kein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle für
\mathl{n=2,3 , \ldots , 10}{} Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe $\Z/(n)$. Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im $n$-System zu tun?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? } {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von $36!$ modulo $31$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von
\mathl{12!}{} modulo
\mathl{143}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{57}}{} in
\mathl{\Z/(139)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N}{} und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass
\mathl{a \in \Z}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} modulo $n$ genau dann ist, wenn \mathkor {} {a} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {K} { \operatorname{Mat}_{ n } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a \end{pmatrix} } {,} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die folgenden Körper $K$

a) $K=\Q$,

b) $K=\R$,

c)
\mathl{K=\{0,1\}}{,} der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 11.4,

d)
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{,} der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 41.11.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus Beispiel 41.11.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus Beispiel *****.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} {K ^{\times} } { ( K_+, \cdot,1) } {x} { \betrag { x } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Was ist der Kern?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von \mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {} definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Stelle in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q \text{ mod } \Z}{} die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen \mathkor {} {0} {und} {1} {} dar. \aufzaehlungvier{
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }}{,} }{
\mathl{- { \frac{ 3 }{ 4 } }}{,} }{ $11$, }{
\mathl{{ \frac{ 4 }{ 7 } } + { \frac{ 5 }{ 6 } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring $\Z/(13)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne über
\mathl{\Z/(5)}{} das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das folgende \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus Beispiel 41.11.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}