Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 42



Die Pausenaufgabe

Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.


Vergleiche und .




Übungsaufgaben

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?



Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?



Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge durch drei Quadrate mit Seitenlänge überdecken?



Erläutere, warum die Schreibweise für die -te Wurzel aus sinnvoll ist.



Berechne .



Zeige, dass es in kein Element mit gibt.



Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.



Ist die Zahl rational?



Ist die reelle Zahl

rational?



Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.



Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.



Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.



Zeige, dass es in vier Lösungen für die Gleichung

gibt.



Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.



Vergleiche



Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?



Vergleiche



Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige



Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .



Es sei ein angeordneter Körper mit , wobei keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

ein Körper ist.



Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?


Zu einem kommutativen Ring bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach .


Es sei ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.



Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.



Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).



Wir betrachten die Menge

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von (bezüglich der Addition) ist.
  2. Zeige, dass unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
  3. Zeige, dass die rationalen als Diagonalmatrizen enthält.
  4. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  5. Zeige, dass ein Körper ist.
  6. Zeige, dass eine Quadratwurzel zu enthält.



Berechne



Berechne



Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.



Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.



Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.



Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass

eine Untergruppe von bildet.



Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.



Wir betrachten auf die Relation , falls gilt.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei

    die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf durch

    eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

  3. Zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.
  4. Es sei ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem und jedes die Wurzel gibt. Zeige, dass die Zuordnung

    ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .



Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.



Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es in sechs Lösungen für die Gleichung

gibt.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man nicht in der Form

mit schreiben kann.



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ganze Zahlen und eine Lösung der Gleichung

Zeige, dass eine ganze Zahl ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Es seien positive ganze Zahlen. Zeige



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