Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche \mathkor {} {\sqrt[10]{10}} {und} {\sqrt[3]{2}} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ durch drei Quadrate mit Seitenlänge $4$ überdecken?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erläutere, warum die Schreibweise
\mathl{x^{ { \frac{ 1 }{ k } } }}{} für die $k$-te Wurzel aus $x$ sinnvoll ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathl{\sqrt[12]{2}^2 \cdot \sqrt[6]{2}^5}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2 }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{} \definitionsverweis {irrational}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die Zahl
\mathl{\sqrt{7} + \sqrt{7}}{} rational?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }} { }
rational?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $a \in K$. Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $\Z/(5)$ vier Lösungen für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man konstruiere einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$, in dem die $4$ mindestens drei \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt[2]{2},\, \sqrt[3]{3} ,\, \sqrt[4]{4} ,\, \sqrt[5]{5}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{2} + \sqrt{7} \text{ und } \sqrt{3} + \sqrt{5}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{a,b,c \in K_+}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ \geq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{ a+b} + \sqrt{a-b} }
{ \leq} { \sqrt{ a+c} + \sqrt{a-c} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Quadrate und ihre \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} im Restklassenkörper
\mathl{\Z/(13)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} mit
\mathl{\sqrt{n} \in K_+}{,} wobei
\mathl{n \in \N}{} keine Quadratzahl sei. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ p+q \sqrt{n} \mid p,q \in \Q \right\} } }
{ \subseteq} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{5}^2 }
{ = }{ 5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und dass $K$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird.

b) Definiere eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} derart, dass $K$ zu einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.

d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?

}
{} {}

Zu einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit $R^{\times}$ bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^{\times} }
{ = }{ K \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Quadrate}{}{} in $K^{\times}$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $K^{\times}$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Quadrate}{}{} in $K^{\times}$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $K_+$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q^2 }
{ \subseteq }{ \Q_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \zusatzklammer {multiplikative} {} {} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei $\sim$ die zugehörige \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Q_+$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist \zusatzklammer {die $1$ erfülle diese Eigenschaft} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \Q \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungsechs{Zeige, dass $R$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)}{} \zusatzklammer {bezüglich der Addition} {} {} ist. }{Zeige, dass $R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. }{Zeige, dass $R$ die rationalen $\Q$ als Diagonalmatrizen enthält. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist. }{Zeige, dass $R$ eine Quadratwurzel zu $-1$ enthält. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt[3]{5} + { \frac{ 2 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - 4 + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3]{5 }+ { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ enthalte die Wurzeln \mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.} Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[4]{5}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ x \in K_+ \mid \text{Es gibt ein } m \in \N_+ \text{ mit } x^m \in \Q \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(K_+,1,\cdot)}{} bildet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt $c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf $\Q_+ \times \N_+$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p,m) }
{ \sim }{ (q,n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p^n }
{ = }{q^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} { ( \Q_+ \times \N)/\sim }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{.} Zeige, dass auf $Q$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (p,m) ] \cdot [(q,n)] }
{ \defeq} { [ ( p^n q^m, nm) ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist. }{Zeige, dass $Q$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist. }{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} in dem es zu jedem
\mathl{p \in \Q_+}{} und jedes
\mathl{m \in \N_+}{} die Wurzel
\mathl{\sqrt[m]{p}}{} gibt. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {Q} {K_+ } {[(p,m)]} { \sqrt[m]{p} } {,} ein wohldefinierter \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die Quadrate und ihre \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} im Restklassenkörper
\mathl{\Z/(19)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} $a \in K$ und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass es in $\Z/(7)$ sechs Lösungen für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^6 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{3} }
{ =} { p + q \sqrt{2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{p,q \in \Q}{} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{a,b}{} ganze Zahlen und
\mathl{x \in \Q}{} eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +ax+b }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $x$ eine ganze Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathbed {a \in K} {}
{a \geq 1} {}
{} {} {} {.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} positive ganze Zahlen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt[m]{a} }
{ \leq} { \sqrt[n]{a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}