Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex

\setcounter{section}{53}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{1}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ n/m }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q }
{ \defeq} { { \left( b^n \right) }^{1/m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 3 }{ 7 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\Q } {\R } {q} {b^q } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {x^q } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { { \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der einzige \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q,+,0)} { (\Q_+,\cdot,1) } {} die konstante Abbildung auf $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\Q$ nicht unbedingt mit $f$ übereinstimmen muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ ebenfalls monoton ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {monotone}{}{} Funktion und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\Q$ mit $f$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Vergleiche die beiden Zahlen
\mathdisp {\sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } } \text{ und } \sqrt{3}^{- \sqrt{5} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche die drei Zahlen
\mathdisp {2^{\sqrt{3} }, \, 4,\, 3^{\sqrt{2} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {\sqrt{2}^{ \sqrt{3} }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'} }
{ = }{ b^x \cdot b^{x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x} }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'} }
{ = }{ b^{ x \cdot x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x }
{ = }{ a^x \cdot b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} $\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y) }
{ =} { f(x) \cdot f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R_+ } {x} {b^x } {,} aus einem \definitionsverweis {arithmetischen Mittel}{}{} ein \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} macht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {a^x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert die Gerade durch die beiden Punkte \mathkor {} {(x,f(x))} {und} {(x+1,f(x+1))} {} einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit
\mathl{s(x)}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1) }
{ =} {s(x) +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Skizziere die Situation.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} und \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} die zugehörige \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( b^{x} \right) }^{x'} }
{ =} { b^{x x'} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x,x' \in \R}{} unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Graphen zu den Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_k(x) }
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ x^k }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n=2,3,4,5, 6}{} auf
\mathl{[-3,3]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Exponentialreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ableitung von $f$ mit $f$ übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R_+ } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1) }
{ = }{ 2f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die von
\mathl{2^x}{} verschieden ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man bastle einen \stichwort {Rechenschieber} {,} der die Multiplikation von positiven \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} ausführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen. \aufzaehlungdrei{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z) }
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\log_{ b } y^u }
{ = }{u \cdot \log_{ b } y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mathl{u \in \R}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y }
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) } }
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {x^u } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne
\mathdisp {3^{ { \frac{ 4 }{ 5 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Vergleiche
\mathdisp {5^{ - { \frac{ 4 }{ 7 } } } \text{ und } 5^{ - { \frac{ 5 }{ 9 } } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} zwischen den beiden Zahlen \mathkor {} {2^{\sqrt{5} }} {und} {3^{\sqrt[3]{2} }} {} folgere daraus, welche größer ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} gibt, die auf $\Q$ mit $f$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbdisp {f} {(\Q,+,0)} {(\R_+, \cdot,1) } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles
\mathl{b>0}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $x \in \Q$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne $e^3$ mit Hilfe der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{.}

}
{} {}