- Klassifikation von Formen und ihren Nullstellengebilden
(insbesonders vom Grad 2,3 in 3 Variablen)
Form vom Grad in Variablen = homogenes Polynom von ...
-
quadratische binäre Form
Potenz - Anzahl von Variablen
-
quadratische ternäre Form 6 Parameter = 6-dim. Raum
-
kubische ternäre Form (10 Parameter)
prog. Nullstellengebilde
-
gleich unter einer ??? Transformation (der umgebenen projektiven Ebene)
(Aufgabe der Invariantentheorie: Welche sind gleich?)
Erlaubte Transformationen
-
-
-
= neue quadratische Form
- Quadratische Form
Welche können ineinander überführt werden?
-
(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix
-
-
Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch )
(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels auf die beschriebene Form bringen
1. Fall
-
2. Fall
-
-
Unter nur die Konstruktion als invariante Polynome.
Unter ist
-invariant und ??? den Invariantenring
-
-
-
auf ???
-
-
-singulär singuläre Form
diskr. 5-dimensonaler Raum (Eine Gleichung in einem 6-dimensionalen Raum.
- äquivalent zu 3-dimensonal
- 0-Form 0-dimensional
-
quadratisch ??? Fall, Nullstellengebilde in
glatt
- Kubische Formenn
Was f"ur Nullstellengebilde treten auf?
- Produkt von 3 Linearformen .
(a1)
(a2)
(a3) :
- ??? u.a.
-
??? heißt im Projektiven, sie haben einen Punkt gemeinsam
- und ???
-
- induzibles quadratisches lineares Nullstellengebilde, glatter Kern, Gerade, Möglichkeiten
- gibt es im Komplexen nicht; es gibt immer eine Nullstelle (in ???)
quadratische Form (Skalarpr.)
-
1. Fall:
generell: sind und Linearformen mit
, dann gibt es -invariante Abbildungen .
Ersetze durch
-
2. Fall:
hat auch -???
Ersetze durch
-
durch Transformation
-
- induziebel ???
-
-
elliptische Kurven, ??? glatt
Achtung: Die elliptischen Kurven sind nicht alle unteinander durche eine Matrix überführbar.
Weierstrass-Form
-
nicht homogen
(zug. Homogeniesierung )
nicht eindeutig
??? Widerspruch
??? Widerspruch
nur solche Transformationen können W-Formen in W-Formen? überführen.
-
erlaubt nun:
Invariant:
- Konstante
- rational ??? der Form
??? Kurve ist glatt (sodass)
invariant und auf allen elliptischen Kurven definiert
-invariat
klassifiziert elliptische Kurven