Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine \definitionsverweis {kompakte Untergruppe}{}{} innerhalb der komplexen \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} \definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {unitäre Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}
\zusatzklammer {als Teilmenge des
\mathl{{\mathbb C}^{n^2}}{}} {} {}
\definitionsverweis {abgeschlossenen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{,}
also
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{{ \left( {\mathbb C},+,0 \right) }}{} keine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
enthält, die in der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix. Zeige, dass
\mathl{\exp A}{} in der
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[A]}{} liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\definitionsverweis {vertauschbare Matrizen}{}{}
\mathl{A,B \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( A \circ B \right)
}
{ =} { { \left( \exp A \right) } \circ { \left( \exp B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } \subseteq \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})
} {t} { \exp \left( tA \right)
} {,}
gleich
\mathl{A \circ \exp \left( tA \right)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine Matrix mit der Eigenschaft
\mathl{\exp \left( tA \right) \in \operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} für alle
\mathl{t \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass $A$
\definitionsverweis {schiefhermitesch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man auf die \definitionsverweis {Exponentialabbildung}{}{} \maabbeledisp {\exp} { \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } \subseteq \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C}) } {A} { \exp A } {,} in der Nullmatrix den Satz über die Umkehrabbildung anwenden kann.
}
{} {}
| << | Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013) | >> |
|---|