Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 32

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde eine kompakte Untergruppe innerhalb der komplexen invertierbaren Diagonalmatrizen.

Aufgabe

Zeige, dass die unitäre Gruppe ${}\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ (als Teilmenge des ${}{\mathbb {C} }^{n^{2}}$) abgeschlossenen und beschränkt, also kompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die additive Gruppe ${}{\left({\mathbb {C} },+,0\right)}$ keine kompakte Untergruppe enthält, die in der Zariski-Topologie dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix. Zeige, dass ${}\exp A$ in der ${}{\mathbb {C} }$- Unteralgebra ${}{\mathbb {C} }[A]$ liegt.

Aufgabe

Zeige, dass für vertauschbare Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ die Beziehung

${}\exp \left(A\circ B\right)={\left(\exp A\right)}\circ {\left(\exp B\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix. Zeige, dass die Ableitung der Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\subseteq \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} }),\,t\longmapsto \exp \left(tA\right),$

gleich ${}A\circ \exp \left(tA\right)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix mit der Eigenschaft ${}\exp \left(tA\right)\in \operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ für alle ${}t\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}A$ schiefhermitesch ist.

Aufgabe

Zeige, dass man auf die Exponentialabbildung

$\exp \colon \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\subseteq \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} }),\,A\longmapsto \exp A,$

in der Nullmatrix den Satz über die Umkehrabbildung anwenden kann.