Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Vektor.

a) Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {\R \times V} {V } {(t,v)} { v +tw } {,} eine \definitionsverweis {Operation}{}{} von
\mathl{(\R,+)}{} auf $V$ definiert ist.

b) Zeige, dass eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion \maabbdisp {f} {V} {\R } {} genau dann unter dieser Operation \definitionsverweis {invariant}{}{} ist, wenn für die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in Richtung $w$ die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_{ w}f }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einer Menge $M$ \definitionsverweis {operiere}{}{,} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Zeige, dass auf dem \definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
\mathl{M / H}{} die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/H}{} in natürlicher Weise operiert, und dass der Bahnenraum
\mathl{{ \left( M / H \right) } / { \left( G/H \right) }}{} mit dem Bahnenraum
\mathl{M/ G}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\rho} {G} { \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) } } {} eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $G$ in einen $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Es seien \mathkor {} {u_1 , \ldots , u_n} {und} {v_1 , \ldots , v_n} {} zwei Basen von $V$ und \maabbdisp {\rho_u, \rho_v} { G} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {} seien die zugehörigen \definitionsverweis {Matrixdarstellungen}{}{.} Zeige, dass die Invariantenringe \mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n]^{G, \rho_u}} {und} {K[Y_1 , \ldots , Y_n]^{G, \rho_v}} {} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise den Zusatz von Lemma 5.4.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der im Beweis zu Lemma 5.4 verwendete komplexe Invariantenring nicht \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Version von Lemma 5.8 für geeignete \definitionsverweis {multiplikative Systeme}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere Beispiel 5.9 für den Fall, dass $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ und einer \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} einer \definitionsverweis {endlichen Gruppe}{}{} $G$ auf $R$ derart, dass nicht jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R^G \subseteq S \subseteq R} {}
{} {} {} {,} der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} zu einer Untergruppe von $G$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die natürliche Operation der Drehgruppe
\mathl{\operatorname{SO}_{ 2 }}{} auf dem
\mathl{\R^4 = { \left( \R^2 \right) }^2}{.} Mit den natürlichen Identifizierungen
\mathl{{\mathbb C} \cong \R^2}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SO}_{ 2 } }
{ \cong} { { \left\{ u \in {\mathbb C} \mid \betrag { u } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} kann man dies als eine lineare Operation auf dem ${\mathbb C}^2$ auffassen. Zeige, dass die zugehörige Operation auf dem Polynomring
\mathl{{\mathbb C}[w,z]}{} nur die Konstanten als Invarianten besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 } {,} explizit als eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} in den Funktionen \mathkor {} {xy} {und} {x^2-y^2} {} aus.

}
{} {\zusatzklammer {vergleiche Aufgabe 4.14} {} {.}}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{.} Wir betrachten auf dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X,Y)}{} die \definitionsverweis {Operation}{}{} von
\mathl{K^{\times}}{,} wobei
\mathl{\lambda \in K^{\times}}{} durch
\mathl{X \mapsto \lambda X, \,Y \mapsto \lambda Y}{} auf
\mathl{K[X,Y]}{} wirkt und diese Wirkung auf den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} fortgesetzt wird. Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixring}{}{} zu dieser Operation gleich $K { \left( { \frac{ X }{ Y } } \right) }$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder ${\mathbb C}$. Wir betrachten die \definitionsverweis {skalare Multiplikation}{}{} von
\mathl{{\mathbb K} ^{\times}}{} auf
\mathl{{\mathbb K}^n}{.} Es sei $Y$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb K}^n } {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{,} die auf den \definitionsverweis {Bahnen der Operation}{}{} konstant sei. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.

}
{} {}