Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Gruppenoperationen}
In den beiden Beispielen der ersten Vorlesung operiert eine Gruppe auf einer Menge: Die Kongruenzabbildungen bilden eine Gruppe, und eine Kongruenz überführt ein Dreieck in ein weiteres
\zusatzklammer {kongruentes} {} {}
Dreieck. Eine Permutation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
überführt ein $n$-Tupel in ein weiteres Tupel und ein Polynom
\zusatzklammer {in $n$ Variablen} {} {}
in ein Polynom über. Diese Situation wird durch den Begriff der Gruppenoperation erfasst, welcher grundlegend für die Invariantentheorie ist.
Es sei $G$ eine zumeist multiplikativ geschriebene Gruppe mit neutralem Element $e$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G \times M} {M
} {(g,x)} {gx
} {,}
heißt
\definitionswort {Gruppenoperation}{}
\zusatzklammer {von $G$ auf $M$} {} {,}
wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ex
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (gh)x
}
{ = }{ g(hx)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Man spricht auch von einer \stichwort {Aktion} {} oder einer \stichwort {Wirkung} {} der Gruppe $G$ auf $M$. Im Zusammenhang von Gruppenoperationen schreibt man die Gruppe zumeist multiplikativ, und ebenso schreibt man die Operation multiplikativ.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
von $G$ auf $M$ heißt
\definitionswort {treu}{,}
wenn aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gx
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Es sei
\mathl{\operatorname{Perm} \,( M)}{} die
\definitionsverweis {Gruppe der Permutationen}{}{}
auf $M$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn $G$ auf $M$ operiert, so ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { (x \mapsto gx)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
} {Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {\varphi} {G} {\operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { \varphi(x)
} {,}
vorliegt, so wird durch
\maabbeledisp {} {G\times M} {M
} {(g,x)} { (\varphi(g))(x)
} {,}
eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 2.1. }
Unter dieser Korrespondenz ist die Operation genau dann treu, wenn $\varphi$ injektiv ist.
\inputbeispiel{}
{
Nach
Lemma 2.3 (2)
und nach
Lemma 4.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
ist eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
von
\mathl{(\Z,0,+)}{} auf einer Menge $M$ dasselbe wie eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{}
\maabbdisp {F} {M} {M
} {,}
wobei die $1$ wie $F$ wirkt. Bei gegebenem $F$ ist also die Gruppenwirkung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n \cdot x
}
{ = }{ F^n (x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert, wobei $F^n$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $F$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $-n$-fache Hintereinanderschaltung der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\mathl{F^{-1}}{} bedeutet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {G}{ invariant }{,}
wenn zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x, y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
\definitionswortpraemath {G}{ äquivalent }{}
\zusatzklammer {oder äquivalent unter $G$} {} {,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ gx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Diese Relation ist in der Tat eine Äquivalenzrelation, wie man sich direkt überlegen kann. Die Äquivalenzklassen bekommen einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} auf $M$ zur $G$-\definitionsverweis {Äquivalenz}{}{} nennt man die \definitionswort {Bahnen der Operation}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Fixpunkt der Operation}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gx
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist genau dann ein Fixpunkt der Operation, wenn die Bahn durch diesen Punkt einelementig ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die zugehörige Standgruppe ganz $G$ ist.
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_x
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid gx = x \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Isotropiegruppe}{}
zu $x$.
} Dabei handelt es sich um eine Untergruppe von $G$. Andere Bezeichnungen hierfür sind \stichwort {Standgruppe} {} oder \stichwort {Stabilisator} {.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Dann gibt es stets die sogenannte \stichwort {triviale Operation} {} von $G$ auf $M$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gx
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {g \in G} {und alle} {x \in M} {}
gegeben ist. In diesem Fall ist jeder Punkt ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
und alle
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
sind einelementig.
}
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Operation heißt
\definitionswort {transitiv}{,}
wenn es zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x, y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gx
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Eine Operation ist genau dann transitiv, wenn es nur eine Bahn gibt.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Die Verknüpfung
\maabbeledisp {} {G \times G} {G
} {(g,h)} {gh
} {,}
kann man als eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der Gruppe $G$ auf sich selbst ansehen. Diese Operation ist
\definitionsverweis {treu}{}{}
und
\definitionsverweis {transitiv}{}{,}
es gibt also nur eine
\definitionsverweis {Bahn}{}{.}
Für zwei Elemente
\mathkor {} {g_1} {und} {g_2} {}
ist ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1
}
{ = }{ { \left( g_1g_2^{-1} \right) } g_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Dann liefert die Verknüpfung
\maabbeledisp {} {H \times G} {G
} {(h,g)} { hg
} {,}
eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
von $H$ auf $G$. Die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
dieser Operation stimmen mit den
\definitionsverweis {Rechtsnebenklassen}{}{}
zu dieser Untergruppe überein. Wenn $G$ endlich ist, so sind die Bahnen
\zusatzklammer {nach dem Beweis zu
Satz 4.16 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))} {} {}
alle
\definitionsverweis {gleichmächtig}{}{,}
was bei einer beliebigen Gruppenoperation keineswegs der Fall sein muss.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{S_n}{} die
\definitionsverweis {Gruppe der Permutationen}{}{}
auf $M$. Dann liegt eine natürliche Operation
\maabbeledisp {} {S_n \times M} {M
} { (\sigma, i)} { \sigma(i)
} {,}
vor. Der
zugehörige Gruppenhomomorphismus
ist die Identität. Die Operation ist
\definitionsverweis {treu}{}{,}
da jede Permutation
\mathl{\neq
\operatorname{Id}_{ M }}{} mindestens ein Element aus $M$ bewegt. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Isotropiegruppe}{}{}
$G_i$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zur Permutationsgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_{n-1}
}
{ \cong }{ \operatorname{Perm} \,( M \setminus \{i\})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine Permutation
\zusatzklammer {z.B. eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{}} {} {,}
die $i$ in $j$ überführt. Bei dieser Gruppenoperation gibt es also nur eine
\definitionsverweis {Bahn}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{.}
Die Einschränkung der Ringmultiplikation
\maabbeledisp {} { R^{\times} \times R } {R
} {(r,s)} {rs
} {,}
liefert eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der Einheitengruppe auf dem Ring. Diese Operation ist
\definitionsverweis {treu}{}{,}
das Nullelement ist ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
der Operation. Zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die bezüglich dieser Operation
\definitionsverweis {äquivalent}{}{}
sind, heißen
\definitionsverweis {assoziiert}{}{.}
Dieser Begriff spielt bei der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
in einem
\definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{}
eine wichtige Rolle.
}
\inputfaktbeweis
{Gruppenoperation/Klassengleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einer endlichen Menge $M$
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei $F$ die Menge der
\definitionsverweis {Fixpunkte der Operation}{}{} und es seien
\mathl{G_1 , \ldots , G_n}{} die verschiedenen
\definitionsverweis {Bahnen}{}{} mit mindestens zwei Elementen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) }
}
{ =} { { \# \left( F \right) } + \sum_{i = 1}^n { \# \left( G_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Menge $M$ ist zerlegt in die \definitionsverweis {Bahnen der Operation}{}{,} und diese sind entweder einelementig und entsprechen den Fixpunkten, oder mehrelementig, und werden dann rechts mitgezählt.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Die
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
kann man als eine
\definitionsverweis {Operation}{}{}
von $G$ auf sich selbst auffassen, indem man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g \cdot x
}
{ =} { gxg^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzt. Dabei haben wir die Gruppenverknüpfung symbolfrei und die Operation zur Unterscheidung mit $\cdot$ geschrieben. Dass eine Operation vorliegt kann man direkt nachprüfen oder aus
Lemma 5.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011))
folgern. Die Äquivalenzklassen unter dieser Operation, also die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
der Konjugation, heißen \stichwort {Konjugationsklassen} {.} Die Elemente im
\definitionsverweis {Zentrum}{}{}
der Gruppe sind genau die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {F} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{}
mit der
zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
von $\Z$ auf $M$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn $F$ die Identität ist. Die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
der Operation sind genau die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $F$. Die
\definitionsverweis {Isotropiegruppe}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\Z k}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ k
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
falls $x$ ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
der $k$-ten Hintereinanderschaltung $F^k$ und $k$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich $0$. Die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Bahn}{}{}
besteht aus
\mathdisp {{ \left\{ F^n(x) \mid n \in \Z \right\} }} { . }
Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation
\definitionsverweis {treu}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
den
\definitionswort {Bahnenraum}{}
der Operation. Er wird mit
\mathdisp {M \backslash G} { }
bezeichnet. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {M} {M \backslash G
} {x} { [x]
} {,}
wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt
\definitionswort {Quotientenabbildung}{.}
}
Der Bahnenraum ist also einfach die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} der Äquivalenzrelation, die durch die Gruppenoperation festgelegt wird, und die angegebene Quotientenabbildung ist die zugehörige \definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
\definitionsverweis {Sphäre}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^{n+1} \mid \Vert {x} \Vert = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {S} {S
} {x} {-x
} {,}
die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha \circ \alpha
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ S }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt dies Anlass zu einer
\definitionsverweis {Operation}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\{1,-1 \}
}
{ \cong }{\Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf der Sphäre $S$, bei der $1$ durch die Identität und $-1$ durch $\alpha$ operiert. Diese Operation ist
\definitionsverweis {treu}{}{}
und jede
\definitionsverweis {Bahn}{}{}
ist zweielementig von der Form
\mathl{\{x, -x\}}{.} Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der
\definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
\zusatzklammer {versehen mit einer geeigneten
\definitionsverweis {Topologie}{}{}} {} {}
heißt $n$-dimensionaler \stichwort {reell-projektiver Raum} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei Mengen, auf denen jeweils $G$
\definitionsverweis {operiert}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
\definitionswortpraemath {G}{ invariant }{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswortpraemath {G}{ verträglich }{}} {} {}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(gx)
}
{ =} { g \varphi(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Dieser Begriff wird insbesondere auch dann verwendet, wenn die Gruppe $G$ auf der zweiten Menge $N$ trivial operiert.
\inputfaktbeweis
{Gruppenoperation/Bahnenraum/Invariante Abbildung/Faktorisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei
\mathl{M \backslash G}{} der
\definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
zu dieser Operation.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Quotientenabbildung
\maabbeledisp {q} {M} {M\backslash G
} {x} {[x]
} {,}
ist
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
\zusatzklammer {wobei $G$ auf dem Bahnenraum trivial operiert} {} {.}
} {Wenn $N$ eine weitere Menge ist und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} eine $G$-invariante Abbildung
\zusatzklammer {wobei die Operation von $G$ auf $N$ trivial sei} {} {,}
so gibt es genau eine Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {M \backslash G} { N
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
sind
\mathkor {} {x} {und} {gx} {}
in der gleichen Äquivalenzklasse, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q (g x)
}
{ =} {[gx]
}
{ =} {[x]
}
{ =} {g [x]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Das folgt aus
Lemma 11.13 (Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)).
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $X$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ X \times \cdots \times X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $n$ Faktoren. Die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$ operiert auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { { \left( x_{\sigma (1)} , \ldots , x_{\sigma (n)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $\sigma$ vertauscht die Indizes. Die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form
\mathl{(y , \ldots , y)}{.} Wenn $r$ die Anzahl der verschiedenen Elemente in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet und
\mathbed {a_i} {}
{1 \leq i \leq r} {}
{} {} {} {,}
die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die
\definitionsverweis {Isotropiegruppe}{}{}
zu $x$ gleich
\mathl{S_{a_1} \times \cdots \times S_{a_r}}{}
\zusatzklammer {das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden} {} {}
und besitzt genau
\mathl{a_1! \cdots a_r!}{} Elemente. Die zugehörige
\definitionsverweis {Bahn}{}{} besitzt entsprechend
\mathl{{ \frac{ n! }{ a_1! \cdots a_r! } }}{} Elemente.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die polynomialen Funktionen
\mathdisp {x_1 + \cdots + x_n ,\, \sum_{i <j} x_ix_j , \ldots , x_1 { \cdots } x_n} { }
\zusatzklammer {also die
\definitionsverweis {elementarsymetrischen Polynome}{}{}} {} {}
$S_n$-\definitionsverweis {invariante Abbildungen}{}{}
nach $\R$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $L$ eine weitere Menge und
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }}{} die Menge der
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $L$ nach $M$. Dann wird durch
\maabbeledisp {} {G \times \operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }
} {(g, \varphi)} { g \varphi
} {,}
wobei
\mathl{g \varphi}{} durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (g \varphi)(x)
}
{ = }{ g (\varphi(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei, eine Operation von $G$ auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }}{} gegeben. Für das neutrale Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (e \varphi)(x)
}
{ =} { e (\varphi(x))
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e \varphi
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ((gh) \varphi) (x)
}
{ =} { (gh) (\varphi(x))
}
{ =} { g (h (\varphi(x)))
}
{ =} { g ( (h \varphi )(x) )
}
{ =} { (g (h \varphi))(x)
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (gh) \varphi
}
{ = }{ g (h \varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ nennt man die Menge $G$ mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g \cdot_{\rm op} h
}
{ \defeq} { hg
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
die
\definitionswort {oppositionelle Gruppe}{}
$G$. Sie wird mit
\mathl{G^{ {\rm op} }}{} bezeichnet.
\inputbeispiel{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $N$ eine weitere Menge und
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }}{} die Menge der
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
von $M$ nach $N$. Dann wird durch
\maabbeledisp {} { G^{ {\rm op} } \times \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } } {\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }
} {(g, \varphi)} { g \varphi
} {,}
wobei
\mathl{g \varphi}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (g \varphi)(x)
}
{ =} { (\varphi(gx))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sei, eine Operation der
\definitionsverweis {oppositionellen Gruppe}{}{}
\mathl{G^{ {\rm op} }}{} auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }}{} gegeben. Für das neutrale Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (e \varphi)(x)
}
{ =} { \varphi(ex)
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e \varphi
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ((g \cdot_{\rm op} h) \varphi) (x)
}
{ =} { ((h g) \varphi) (x)
}
{ =} { \varphi( (h g)(x))
}
{ =} { \varphi( h (gx))
}
{ =} { (h \varphi )(gx)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { (g (h \varphi))(x)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (g \cdot_{\rm op} h) \varphi
}
{ = }{ g (h \varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Statt mit der oppositionellen Gruppe zu arbeiten kann man diese Konstruktion auch als eine Operation von rechts auffassen.
Die
\definitionsverweis {Fixelemente}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) }}{} unter dieser Operation sind gerade die
$G$-\definitionsverweis {invarianten Abbildungen}{}{}
von $M$ nach $N$. Diese Konstruktion wird insbesondere bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
o.Ä. angewendet, wenn es also um auf $M$ definierte Funktionen geht.
}
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