Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	0	3	0	3	0	0	9	0	0	0	0	0	29

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
2. Eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}z$ in einem Körper ${}K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
3. Eine algebraische Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ${}G$.
5. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${}*$ auf ${}\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass ${}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${}1*1=1$. Zeige, dass ${}*$ die übliche Multiplikation sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

alle verschieden sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)