Kurs:Körper- und Galoistheorie/6/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 0 | 3 | 7 | 0 | 0 | 3 | 0 | 6 | 0 | 9 | 0 | 7 | 47 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Gruppenisomorphismus.
- Eine einfache Körpererweiterung .
- Die Charakteristik eines Körpers .
- Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
- Das Kompositum zu zwei Zwischenkörpern in einer Körpererweiterung.
- Eine konstruierbare Zahl .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Charakterisierung für Restklassenkörper eines Hauptidealbereiches .
- Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
- Der Satz über die Quadratur des Kreises.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der - linearen Multiplikationsabbildung
grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form haben.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise das Lemma von Dedekind.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (9 (2+1+1+2+2+1) Punkte)
- Bestimme den Zerfällungskörper zum Polynom .
- Was ist der Grad ?
- Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
- Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
- Ist die Galoisgruppe abelsch?
- Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein Unterkörper und . Es gebe eine endliche Galoiserweiterung mit gibt, deren Grad eine Zweierpotenz sei. Zeige, dass es in eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen
mit gibt.