Kurs:Körper- und Galoistheorie/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	3	6	2	0	12	9	0	2	0	0	1	0	4	5	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Körpererweiterung.
2. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Eine algebraische Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Der Index einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe ${}G$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbarer Kreis ${}C$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
2. Der Satz von Artin über Fixkörper.
3. Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X+1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}4x^{2}+7x-3$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+5X^{2}-7X+6\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (12 (2+1+1+3+5) Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Es sei ${}q=p^{e}$ und ${}c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von ${}X$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun ${}p=1\mod 4$. Zeige, dass die Restklasse ${}x$ von ${}X$ in ${}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei ${}p=1\mod 4$ und sei ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass ${}Y^{2^{n}}-a$ für alle ${}n\geq 1$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper

${}\mathbb {Q} \subseteq L,M\subseteq K_{n}\,$

in einem Kreisteilungskörper ${}K_{n}$, die beide die gleichen ${}n$-ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ Körpererweiterungen. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in L$ eine algebraisch unabhängig über ${}K$ und ${}g_{1},\ldots ,g_{s}\in M$ algebraisch unabhängig über ${}L$. Zeige, dass die Familie

${}f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\in M\,$

algebraisch unabhängig über ${}K$ ist.