Kurs:Körper- und Galoistheorie/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 5 | 5 | 0 | 3 | 0 | 3 | 4 | 0 | 4 | 3 | 37 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine endliche Körpererweiterung .
- Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
- Der
Kern
eines
Gruppenhomomorphismus
- Eine separable Körpererweiterung .
- Ein aus einer Teilmenge einer Ebene konstruierbarer Punkt .
- Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
- Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
- Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine - Basis von . Zeige, dass dann
Aufgabe * (5 Punkte)
Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei und der Zerfällungskörper zu . Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe definiert.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung
mit aus den gegebenen Parametern die reellen Lösungen der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise die Klassengleichung.