Kurs:Körper- und Galoistheorie/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	3	4	3	6	7	8	5	4	5	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}z$ in einem Körper ${}K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe ${}G$.
5. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$.
2. Die trigonometrische Darstellung der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer ${}R$-Algebra ${}A$ und einem Element ${}f\in A$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$

in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}2+5{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte den Körper ${}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)$. Führe im Polynomring ${}K[X]$ die Polynomdivision

$X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1$

aus, wobei ${}u$ die Restklasse von ${}U$ in ${}K$ bezeichnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien ${}k$ und ${}n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}k$ teilt ${}n$.
2. Es ist ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}\mu _{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$ (d.h., dass ${}F$ als Polynom in ${}X^{n}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes ${}z\in \mu _{n}$ die Gleichheit

${}F(zX)=F(X)\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ kommutative Gruppen und seien ${}D_{1}^{\vee }$ und ${}D_{2}^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}$

   durch die Zuordnung ${}\chi \mapsto \chi \circ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei ${}D_{3}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.$