Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren
\definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {einfache}{}{,} aber keine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ist ein konstantes Polynom
\mathl{P\in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper. Zeige, das auch
\mathl{M \subseteq L}{} eine separable Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$ und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,}
dessen Grad kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass $F$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$ und sei
\mathbed {X^p -a} {}
{a \in K} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {K[x]
}
{ =} {K[X]/(X^p-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$ und sei
\mathbed {X^p -X-a} {}
{a \in K} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {K[x]
}
{ =} {K[X]/(X^p-X-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
dessen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
kein Vielfaches von $p$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass diese Erweiterung genau dann
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $D$ kein Vielfaches von $p$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Anzahl der
$\Q$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von
\mathl{\Q[\sqrt{3}, \sqrt{7} ]}{} nach ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\zeta$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$n$-te
\definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{.}
Bestimme die Anzahl der
$\Q$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von
\mathl{\Q[\zeta ]}{} nach ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mathl{z \in L}{} ein Element. Es seien
\maabbdisp {\rho_1 , \ldots , \rho_n} {L } {{\mathbb C}
} {}
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei
\mathl{M=\{ z_1 , \ldots , z_k\}}{} die Menge der verschiedenen Werte
\mathl{\rho_i(z)}{.} Zeige, dass dann für das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$G$ von $z$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { (X- z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\maabb {\rho_i} {L} {{\mathbb C}
} {}
die $n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei
\mathl{z \in L}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i
}
{ = }{ \rho_i(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass dann
\mathdisp {N(z)= z_1 \cdots z_n \text{ und } S(z)= z_1 + \cdots + z_n} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere
Lemma 13.12
für die Extremfälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere
Lemma 13.12
für die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(5)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ 625 }
}
{ \cong }{\Z/(5) [X]/ { \left( X^4-2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Zwischenkörper
\mathl{{\mathbb F}_{ 25 }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ \defeq} {\Q[ { \mathrm i} , \sqrt{2} ]
}
{ =} { \Q[\zeta_8]
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta_8
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{2} { \mathrm i} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
zu $\zeta_8$ über den folgenden Zwischenkörpern
\mathbed {M} {}
{\Q \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\Q[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\Q [ \sqrt{2} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes
\definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf $K$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht
\definitionsverweis {vollkommen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K\subseteq L}{,} die nicht
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{,} die nicht \definitionsverweis {einfach}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion
\maabbeledisp {F} {K^n} {K
} {(a_1 , \ldots , a_n)} {F(a_1 , \ldots , a_n)
} {,}
nicht die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen
\mathkor {} {K} {und} {L} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
Mit
\mathl{K(X,Y)}{} wird der Quotientenkörper des Polynomrings
\mathl{K[X,Y]}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X^p,Y^p)
}
{ \subseteq} { K(X,Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dies keine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}