Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${}F\in K[X]$ von ${}P$ ebenfalls separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom ${}P\in K[X]$ separabel?

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dessen Grad kein Vielfaches von ${}p$ sei. Zeige, dass ${}F$ separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}X^{p}-a$, ${}a\in K$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

${}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-a)\,$

nicht separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}X^{p}-X-a$, ${}a\in K$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

${}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-X-a)\,$

separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, dessen Grad kein Vielfaches von ${}p$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann separabel ist, wenn die Ordnung von ${}D$ kein Vielfaches von ${}p$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$- Algebrahomomorphismen von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {7}}]$ nach ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te komplexe Einheitswurzel. Bestimme die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$- Algebrahomomorphismen von ${}\mathbb {Q} [\zeta ]$ nach ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{z_{1},\ldots ,z_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Zeige, dass dann für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})\,$

gilt.

Aufgabe *

Sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass dann

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}S(z)=z_{1}+\cdots +z_{n}$

gilt.

Aufgabe

Diskutiere Lemma 13.12 für die Extremfälle ${}M=K$ und ${}M=L$.

Aufgabe

Diskutiere Lemma 13.12 für die Körpererweiterung ${}\mathbb {Z} /(5)\subseteq {\mathbb {F} }_{625}\cong \mathbb {Z} /(5)[X]/{\left(X^{4}-2\right)}$ und den Zwischenkörper ${}{\mathbb {F} }_{25}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$, ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.

1. ${}M=\mathbb {Q}$.
2. ${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
4. ${}M=L$.

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik ${}0$ vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$. Zeige, dass ${}K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf ${}K$ surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper ${}{\mathbb {F} }_{p}(X)$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, die nicht separabel ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine graduierte Körpererweiterung, die nicht einfach ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

$F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),$

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Es sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ${}M\neq K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Mit ${}K(X,Y)$ wird der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X,Y]$ bezeichnet.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)\,.$

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.