Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${}M\subseteq D$ der ${}K$- Vektorraum

$\oplus _{d\in M}A_{d}$

ein Unterring von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

$M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}$

ein Untermonoid von ${}D$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ eine ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ eine homogene Einheit vom Grad ${}d$. Zeige, dass das inverse Element ${}f^{-1}$ homogen vom Grad ${}-d$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z} /(10)$- graduierte ${}\mathbb {Q}$- Algebra

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{10}-5\right)}=\mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {1}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {2}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {3}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus \cdots \oplus 5^{\frac {8}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {9}{10}}\cdot \mathbb {Q} \,.$

1. Berechne das Inverse von

   $5^{\frac {1}{10}}.$

2. Berechne

   ${\left(5^{\frac {7}{10}}\right)}^{4}.$

3. Berechne

   ${\left({\frac {2}{7}}-{\frac {4}{3}}\cdot 5^{\frac {3}{10}}-5\cdot 5^{\frac {8}{10}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5}{4}}\cdot 5^{\frac {5}{10}}+4\cdot 5^{\frac {7}{10}}-{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {9}{10}}\right)}.$

4. Bestimme graduierte Unterringe von ${}L$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${}M\subseteq D$ der ${}K$- Vektorraum

$\oplus _{d\in M}A_{d}$

ein Unterkörper von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Zeige, dass eine quadratische Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ graduiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon ]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,$

graduiert ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ${}\mathbb {Z} /(n)$- graduierte Körpererweiterung einfach ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung, wobei ${}D$ nicht zyklisch sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Element erzeugt wird.

Aufgabe *

Es seien ${}p,q\in \mathbb {Z}$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=L\,$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${}4$. Bestimme, ob die folgenden Elemente die ${}\mathbb {Q}$- Algebra ${}L$ erzeugen oder nicht.

1. ${}{\sqrt {p}}$,
2. ${}{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}$,
3. ${}{\sqrt {pq}}$,
4. ${}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}$.

Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }]=L\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}4$ ist.
3. Finde einen echten Zwischenkörper

   ${}\mathbb {Q} \subset M\subset L\,.$

4. Zeige, dass ${}L$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)$- graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.
5. Zeige, dass ${}L[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$- graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist. Durch welche Untergruppe von ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ wird ${}L$ beschrieben?

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ die Charaktergruppe zu ${}D$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ${}D^{\vee }$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ${}D=D_{1}\times D_{2}$ ist ${}(D_{1}\times D_{2})^{\vee }=D_{1}^{\vee }\times D_{2}^{\vee }$.

Aufgabe

Sei ${}D$ eine endliche Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}\chi \in D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ ein Charakter. Zeige, dass ${}\chi (d)$ für jedes ${}d\in D$ eine Einheitswurzel in ${}K$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ kommutative Gruppen und seien ${}D_{1}^{\vee }$ und ${}D_{2}^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}$

   durch die Zuordnung ${}\chi \mapsto \chi \circ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei ${}D_{3}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.$

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von ${}D$ in das Doppeldual ${}(D^{\vee })^{\vee }$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${}D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung ${}\operatorname {ev} _{d}$ heißt Evaluierungsabbildung (zu ${}d$).

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},$

die einer Untergruppe von ${}D$ eine Untergruppe von ${}D^{\vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ist ${}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann ${}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}$

und

$H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}$

(zwischen den Untergruppen von ${}D$ und den Untergruppen von ${}D^{\vee }$) zueinander invers sind.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass in der in Aufgabe 12.17 beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von ${}D$ und von ${}D^{\vee }$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also

${}(E_{1}\cap E_{2})^{\perp }=E_{1}^{\perp }+E_{2}^{\perp }\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Ein ${}K$- Automorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element ${}a\in A_{d}$ gilt ${}\varphi (a)\in A_{d}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 zu einem Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ eingeführte Automorphismus

$\varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A$

homogen ist.

Aufgabe

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$- graduierte Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,$

und den durch ${}\chi (e_{1})=-1$, ${}\chi (e_{2})=1$, ${}\chi (e_{3})=-1$, gegebenen Charakter. Bestimme

$\varphi _{\chi }{\left(3-2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {15}}-4{\sqrt {21}}+3{\sqrt {35}}-5{\sqrt {105}}\right)}.$

Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ gemäß Beispiel 12.9. Zeige, dass die Galoisgruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.$

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

b) Beschreibe eine möglichst einfache ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen von ${}L$.

e) Bestimme das Minimalpolynom von ${}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und ${}U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass

$\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U$

eine ${}\mathbb {Z} /(2)$- graduierte ${}\mathbb {R}$- Algebra ist.

Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]\,$

mit ${}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$.

Aufgabe *

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]$ mit ${}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ nicht graduierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ mit ${}\varphi =\varphi _{\chi }$ gibt, wobei ${}\varphi _{\chi }$ der gemäß Lemma 12.15 zu ${}\chi$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.$

Zeige, dass einerseits ${}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}$ und andererseits ${}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ (alle ${}n\in \mathbb {N}$) ist ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}K$ besitzt eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${}p^{r}$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${}n$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung ${}n$ eines Elementes ${}d\in D$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}E\subseteq D$ eine Untergruppe. Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},$

gleich ${}E^{\perp }$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass ${}\psi$ surjektiv ist.