Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$3$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
in der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $L$ nicht die Form
\mathl{\alpha,\alpha+ \beta, \alpha+\gamma}{} mit rationalen Zahlen
\mathl{\beta,\gamma}{} haben können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man in Satz 15.4 (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man in Satz 15.4 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:
Zu jeder Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq M}{} und zu zwei
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-men}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {L} {M
} {}
ist
\mathl{\varphi_1(L)= \varphi_2(L)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\Q \subseteq K}{} eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
und sei
\maabbdisp {\kappa} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
die komplexe Konjugation.
a) Zeige, dass
\mathl{\kappa(K) \subseteq K}{} gilt.
b) Zeige, dass
\mathl{\kappa {{|}}_K=
\operatorname{Id}_{ K }}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{K \subseteq \R}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass
\mathl{\Q \subseteq L=\Q[X]/(X^3-q)}{} eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von
Satz 15.4,
dass diese Körpererweiterung nicht
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist.
Man gebe die verschiedenen Einbettungen von $L$ in ${\mathbb C}$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper, der über $K$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M'
}
{ \neq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, der zu $M$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\Q \subseteq M}{} aus
Beispiel 15.6.
Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von
Satz 15.4,
dass diese Körpererweiterung nicht
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für den Körper $L$ aus
Beispiel 14.9
eine
\definitionsverweis {endliche Körper\-erweiterung}{}{}
\mathl{L \subseteq L'}{} mit
\mathl{L' \subseteq {\mathbb C}}{} und so, dass $L'$ über $\Q$ normal ist. Beschreibe einen
$\Q$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {L'} {L'
} {}
mit
\mathl{\varphi(L) \neq L}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von
\mathl{{ \# \left( D \right) }}{} enthalte $K$ eine $p^r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_3 \subseteq {\mathbb F}_9}{,} welche Elemente aus ${\mathbb F}_9$ untereinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe in jeder
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} Beispiele für eine
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathl{M_1, M_2}{} Zwischenkör\-per, die beide über $K$
\definitionsverweis {normal}{}{}
seien. Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ M_1 \cap M_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von
\mathl{{ \# \left( D \right) }}{} enthalte $K$ eine $p^r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale}{}{} und
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mathl{x^n =a \in K}{,} wobei
\mathl{\operatorname{grad}_{ K} K(x) = n}{} sei. Zeige, dass $L$ $n$ verschiedene $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_8}{,} welche Elemente aus ${\mathbb F}_8$ untereinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind.
}
{} {}