Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$p$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
von $L$ über $K$ entweder genau eine oder genau zwei Untergruppen besitzt. Wie viele Zwischenkörper besitzt die Körpererweiterung, wann ist die Erweiterung
\definitionsverweis {galoissch}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {H \longmapsto \operatorname{Fix}\, ( H )} { , }
die einer Untergruppe ihren Fixkörper zuordnet, stets injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_{p^{ n } }}{} für
\mathl{n=4,6,8,12}{.} Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ \cong} { { \left( \Z/(p) \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
sei. Bestimme die Untergruppen der Galoisgruppen und skizziere ein Inklusionsdiagramm für die Untergruppen, die Zwischenkör\-per und die Potenzmenge von
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Nullstellen von
\mathl{X^6+108}{} in
Beispiel 17.9
und beschreibe, wie die
\definitionsverweis {Automorphismen}{}{}
auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind
\definitionsverweis {konjugiert}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{} in Beispiel 17.9.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und es seien
\mathl{H_1,H_2 \subseteq G}{}
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Fixkörpern}{}{}
\mathkor {} {K_1 = \operatorname{Fix}\, ( H_1 )} {und} {K_2 = \operatorname{Fix}\, ( H_2 )} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathl{K_1 \cap K_2}{} gleich dem Fixkörper zu $H$ ist, wobei $H$ die von
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{}
bezeichnet
\zusatzklammer {das ist die kleinste Untergruppe von $G$, die sowohl $H_1$ als auch $H_2$ enthält} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein endlicher Körper. Beschreibe den
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
als Abbildung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ q } ^{\times}
}
{ \cong }{ \Z/(q-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in sich selbst. Woran erkennt man nach dieser Übersetzung die Bijektivität des Frobenius? Wie sehen die Iterationen aus? Wie kann man die Fixelemente zu einer solchen Iteration als Kern beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ 9 }}{} mit $9$ Elementen. Für welche Untergruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ 9 } ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{H \cup \{0\}}{} ein Körper, für welche nicht?
}
{} {}
Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} heißt \definitionswort {einfach}{,} wenn sie genau zwei \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} enthält \zusatzklammer {nämlich sich selbst und die triviale Gruppe} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\definitionsverweis {einfach}{}{}
sei. Zeige, dass ein Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
nur dann galoissch über $K$ ist, wenn er gleich $K$ oder $L$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} besitzt, die kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterungen}{}{}
derart, dass ihre
\definitionsverweis {Galoisgruppen}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )} {und} {\operatorname{Gal}\, ( S {{|}} R )} {}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind. Stifte eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Zwischenkörper der ersten und den Zwischenkörpern der zweiten Erweiterung.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{\psi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist
\mathl{\psi(M)=M}{.}
} {Die Untergruppe
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist nur zu sich selbst
\definitionsverweis {konjugiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass
\mathl{X^4-5 \in \Q[ { \mathrm i} ] [X]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[ { \mathrm i} ]
}
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ] [X]/ { \left( X^4-5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist, bestimme die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
und sämtliche Zwischenkörper.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $S_3$ die \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der bijektiven Abbildungen auf einer dreielementigen Menge. Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $S_3$ und welche zueinander \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind. Welche Untergruppen sind Normalteiler? Man gebe eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit Galoisgruppe $S_3$ an und bestimme die zu den Untergruppen gehörenden Zwischenkörper.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {einfach}{}{} ist, wenn $G$ \definitionsverweis {endlich}{}{} und ihre \definitionsverweis {Ordnung}{}{} eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles}{}{}
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} des
\definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{} $L$ von $F$
\definitionsverweis {kommutativ}{}{} sei. Zeige, dass dann
\mathl{L\cong K[X]/(F)}{} ist.
}
{} {}