Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den
\definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Werte der
\definitionsverweis {eulerschen Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{} für
\mathl{n \leq 20}{.}
}
{} {Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi (
\operatorname{kgV} (m,n))}
}
{ =} {{\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { p_1^{r_1} { \cdots } p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ =} { {\varphi (p_1^{r_1})} { \cdots } {\varphi (p_k^{r_k})}
}
{ =} { (p_1-1) p_1^{r_1-1} { \cdots } (p_k-1) p_k^{r_k-1}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{a \in \N}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (a^n)}
}
{ =} { a^{n-1} {\varphi (a)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,}
das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ \geq} { { \frac{ \sqrt{n} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 1,2 , \ldots , 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die primitiven komplexen Einheitswurzeln
\mathl{\zeta_n^k}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta_n
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} / n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe den $5$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mathl{K_{ 5 }}{} als
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von
\mathl{\Q[\sqrt{5}]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ der neunte
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L \cap \R
}
{ \cong} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K_n$ der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_n
}
{ =} {K_n \cap \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_n
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{} ungerade. Zeige, dass der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
$\Phi_{n}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{15
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für
\mathl{n \leq 12}{,} welche der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $K_n$ zueinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der konstante Koeffizient der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
\mathl{\Phi_{n}}{} immer $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente
\mathbed {\zeta^{i}} {}
{i \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}} {}
{} {} {} {.}
a) Zeige, dass für eine Primzahl $n=p$ diese Elemente eine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
b) Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{n=p^2}{.} Zeige, dass diese Elemente keine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
und sei $\zeta$ eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass für jedes $k$ die
\zusatzklammer {benachbarten} {} {}
Einheitswurzeln
\mathdisp {\zeta^k, \zeta^{k+1} , \ldots , \zeta^{k+ {\varphi (n)} -1}} { }
eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $K_{ n }$.
} {Bilden die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln stets eine $\Q$-Basis von $K_{ n }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} und die \definitionsverweis {Spur}{}{} der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln im $n$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{.}
}
{} {}
Über einem beliebigen Körper $K$ werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Der $n$-te \definitionswort {Kreisteilungskörper über $K$ }{} ist der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} des Polynoms
\mathdisp {X^n-1} { }
über $K$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathbed {q=p^e} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,}
eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der
\mathl{(q-1)}{-}te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über ${\mathbb F}_p$ gleich ${\mathbb F}_q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen $p$ und für
\mathl{n=1 , \ldots , 12}{} angibt, welcher
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{p^e}}{} der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ ist.
}
{(Man trage die Exponenten $e$ ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)} {}
\matabellezwoelfzwoelf {\listedreiund { p } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } } {\listesechsmaund { 7 } { 8 } { 9 } { 10 } { 11 } { 12 } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 2 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { }{ } } } {\listedreiund { 3 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 5 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 7 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 11 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 13 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 17 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 19 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 23 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 29 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 31 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } {\listedreiund { 37 } {\listesechsmaund { 1 } { } { } { } { } { } } {\listesechsmaund { } { } { } { } { } { } } } }
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\Phi_{n}}{} das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
und es sei $p$ eine zu $n$
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der Charakteristik $p$, in dem es eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt
\mathdisp {\prod_{0 <i <n,\, \, i,n \, {\rm teilerfremd} } (X -\zeta^{i})} { }
zu
\mathl{\Z/(p)[X]}{} gehört und mit
\mathl{\Phi_{n}\!\!\! \mod p}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen $p \leq 13$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in
\mathl{\Z/(p)[X]}{} aussieht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathbed {{ \frac{ {\varphi (n)} }{ n } }} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
sowohl in
\mathkor {} {1} {als auch in} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }} {}
einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom
\mathl{X^4 + 1}{} über allen endlichen Primkörpern
\mathl{\mathbb{F}_p}{} reduzibel ist.
}
{} {Hinweis: Zeige, dass
\mathl{{\mathbb F}_{ p^2 }}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und $n$ eine natürliche Zahl, die wir als
\mathl{n=kp^a}{} schreiben mit
\mathkor {} {k} {und} {p} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über ${\mathbb F}_p$ gleich ${\mathbb F}_{q}$ ist
\zusatzklammer {mit \mathlk{q=p^e}{}} {} {,} wobei $q$ die minimale echte Potenz von $p$ mit der Eigenschaft ist, dass
\mathl{q-1}{} ein Vielfaches von $k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches $q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Tabelle, die für kleine \mathkor {} {p} {und} {n} {} die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt. \matabellezwoelfzwoelf {\listedreiund { p } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } } {\listesechsmaund { 7 } { 8 } { 9 } { 10 } { 11 } { 12 } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 2 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 1 } { 6 } { 4 } { 10 }{ 2 } } } {\listedreiund { 3 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 1 } { 4 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 5 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 1 } { 2 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 6 } { 1 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 7 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 11 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 1 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 6 } { 1 } { 1 } { 2 } } } {\listedreiund { 13 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 1 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 2 } { 2 } { 3 } { 4 } { 10 } { 1 } } } } {\listesechsbruch {\listedreiund { 17 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 6 } { 1 } { 2 } { 4 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 19 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 1 } { 2 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 23 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 2 } { 4 } { 2 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 6 } { 4 } { 1 } { 2 } } } {\listedreiund { 29 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 2 } { 2 } } {\listesechsmaund { 1 } { 2 } { 6 } { 2 } { 10 } { 2 } } } {\listedreiund { 31 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 2 } { 1 } { 1 } } {\listesechsmaund { 6 } { 2 } { 3 } { 1 } { 5 } { 2 } } } {\listedreiund { 37 } {\listesechsmaund { 1 } { 1 } { 1 } { 1 } { 4 } { 1 } } {\listesechsmaund { 3 } { 2 } { 1 } { 4 } { 5 } { 1 } } } }
Begründe die folgenden \zusatzklammer {mehr oder weniger sichtbaren} {} {} Eigenschaften der Tabelle.
a) Für jedes $n$ sind die Einträge in der $n$-ten Spalte
\mathl{\leq \varphi(n)}{.}
b) Für jedes $p$ kommt in der $p$-ten Zeile die $1$ unendlich oft vor.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe soll eine Eigenschaft bewiesen werden, die in der Tabelle über Kreisteilungspolynome modulo p sichtbar wurde.
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{\Phi_{n}}{} das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
und es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass das Polynom
\mathl{(\Phi_{n}\!\!\! \mod p) \in \Z/(p)[X]}{} das Produkt von
\definitionsverweis {irreduziblen Polynomen}{}{}
ist, die alle den gleichen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
besitzen.
}
{} {Tipp: Reduziere auf den Fall, wo
\mathkor {} {n} {und} {p} {}
teilerfremd ist.}