Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Abelsche Gruppen/Hauptsatz/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}G$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.

Dann ist ${}G$ das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

${}G\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,.$

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}G$. Dann ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow G,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}$

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Korollar 5.11 ist G daher isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$.

${}\operatorname {kern} \varphi$ enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von ${}G$ in ${}\mathbb {Z} ^{m}$. Damit wir ${}G$, bzw. ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$ genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

${}\operatorname {kern} \varphi$ ist eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ und kann daher aufgrund von Fakt ***** durch ${}y_{1},\ldots ,y_{n},y_{i}\in \mathbb {Z} ^{m}$ erzeugt werden, wobei ${}n\leq m$. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer ${}m\times n$- Matrix

${}M$ schreiben. Es gilt dann

$\operatorname {bild} M=\operatorname {kern} \varphi .$

Der Fakt ***** erlaubt es, ${}M=LDR$ zu schreiben, wobei ${}L=L_{1}\cdots L_{p}$ und ${}R=R_{q}\cdots R_{1}$ Hintereinanderschaltungen von über ${}\mathbb {Z}$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden ${}L$ und ${}R$ die Gruppe ${}\mathbb {Z} ^{m}$ auf ${}\mathbb {Z} ^{m}$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}L^{-1}MR^{-1}=D$ erzeugten Untergruppe ${}\operatorname {bild} D$:

${\begin{array}{rcl}\mathbb {Z} ^{m}&{\stackrel {L^{-1}\cdot \Box \cdot R^{-1}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}\\\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M&{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} L^{-1}MR^{-1}\\\end{array}}$

Die Matrix ${}D$ hat aber nach Fakt ***** die Form ${}\operatorname {Diag} (n_{1},\ldots ,n_{s},0,\ldots ,0)$. Die Gruppe ${}\operatorname {bild} D$ hat daher die Form ${}(n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0$.

Daraus folgt schließlich:

${}{\begin{aligned}G&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi \\&=\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M\\&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} D\\&=\mathbb {Z} ^{m}/((n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0)\\&=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\times \mathbb {Z} ^{r}.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe.

Dann ist ${}G$ das Produkt von endlichen zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

$G\cong \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s}).$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz Anhang 4.1.

$\Box$

In diesem Zusammenhang sollte auch der chinesische Restsatz erwähnt werden, der eine weitere Poduktzerlegung der zyklischen Gruppen erlaubt, wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist.

Satz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

Beweis

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich ${}n$, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Es sei ${}x$ eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu ${}0$ wird, also modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ den Rest ${}0$ hat für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$. Dann ist ${}x$ ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ für alle ${}i=1,2,\ldots ,k$, d.h. in der Primfaktorzerlegung von ${}x$ muss ${}p_{i}$ zumindest mit dem Exponenten ${}r_{i}$ vorkommen. Also muss ${}x$ nach Fakt ***** ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von ${}n$. Damit ist ${}x=0$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Abbildung ist injektiv.

$\Box$

Für die Einheitengruppe ergibt dies das folgende Korollar.

Korollar

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ (die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$

Insbesondere ist eine Zahl ${}a$ genau dann eine Einheit modulo ${}n$, wenn sie eine Einheit modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist für ${}i=1,\ldots ,k$.

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