Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)

Information

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• Information zur Klausur

Vorlesungen

• 1 - Cardano

• 2 - Die Gradformel

• 3 - Hauptidealbereiche

• 4 - Gruppenhomomorphismen

• 5 - Restklassengruppen

• 6 - Algebren

• 7 - Restklassenringe

• 8 - Algebraischer Abschluss

• 9 - Graduierte Körperweiterungen

• 10 - Einheitengruppe

• 11 - Zerfällungskörper

• 12 - Der Satz vom primitiven Element

• 13 - Galoiserweiterungen

• 14 - Normale Körpererweiterungen

• 15 - Fixkörper

• 16 - Die Galoiskorrespondenz

• 17 - Kummererweiterungen

• 18 - Kreisteilungskörper

• 19 - Kreisteilungskörper II

• 20 - Auflösbare Gruppen

• 21 - Auflösbare Körpererweiterungen

• 22 - Der Satz von Abel-Ruffini

• 23 - Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

• 24 - Die Quadratur des Kreises

• 25 - Galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen

• 26 - Konstruierbare Einheitswurzeln

• 27 -

• 28 -

• 29 -

• 30 -

Arbeitsblätter

• Arbeitsblatt 1

• Arbeitsblatt 2

• Arbeitsblatt 3

• Arbeitsblatt 4

• Arbeitsblatt 5

• Arbeitsblatt 6

• Arbeitsblatt 7

• Arbeitsblatt 8

• Arbeitsblatt 9

• Arbeitsblatt 10

• Arbeitsblatt 11

• Arbeitsblatt 12

• Arbeitsblatt 13

• Arbeitsblatt 14

• Arbeitsblatt 15

• Arbeitsblatt 16

• Arbeitsblatt 17

• Arbeitsblatt 18

• Arbeitsblatt 19

• Arbeitsblatt 20

• Arbeitsblatt 21

• Arbeitsblatt 22

• Arbeitsblatt 23

• Arbeitsblatt 24

• Arbeitsblatt 25

• Arbeitsblatt 26

• Arbeitsblatt 27

• Arbeitsblatt 28

• Arbeitsblatt 29

• Arbeitsblatt 30

Weitere Materialien

• Definitionsliste

• Definitionsabfrage

• Wichtigste Aussagen

• Aussagen (Abfrage)

• A1 Polynomring

• A2 Verknüpfung und Gruppen

• A3 Permutationsgruppen

• A4 Hauptsatz über abelsche Gruppen

• A5 Gruppenoperationen

• A6 Separabler Abschluss

• A7 Diagonalisierbarkeit

• Endliche Kreisteilungskörper

• Kreisteilungspolynome mod p

• Testklausur 1

• Test 1 - Lösungen

• Testklausur 2

• Test 2 - Lösungen

• Klausur

• Klausur mit Lösungen

• Nachklausur

• Nachklausur mit Lösungen

• Mögliche Bachelorthemen

• Gesamtskript

Forum

Literatur

Links

Évariste Galois (1811-1832)

Gerolamo Cardano (1501-1576)

Eine quadratische Gleichung ${}ax^{2}+bx+c=0$ lässt sich durch quadratisches Ergänzen lösen, d.h. man findet die Nullstellen der Gleichung, indem man eine äquivalente rein-quadratische Gleichung ${}x^{2}=d$ löst. Wie sieht es bei einer Gleichung der Form

${}ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

aus (oder im Grad vier)? Die sogenannten Cardanoschen Formeln erlauben auch hier, das Auffinden der Nullstellen auf das Lösen von geeigneten reinen Gleichungen ${}x^{3}=e$ zurückzuführen. Ob es ein solches Lösungsverfahren auch für polynomiale Gleichungen vom Grad ${}\geq 5$ gibt war lange Zeit ein offenes mathematisches Problem, das gegen 1830 von Abel und Galois negativ gelöst wurde: ein solches Verfahren kann es nicht geben. Dies ist eines der Hauptergebnisse der Galoistheorie, bei der es darum geht, algebraische Körpererweiterungen mit Hilfe von gruppentheoretischen Eigenschaften der Automorphismengruppe zu studieren. Diese Vorlesung wendet sich an Studierende im vierten Semester und setzt als Grundbegriff nur Polynomringe in einer Variablen über einem Körper voraus. Dozent ist Holger Brenner.