Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 16
- Aufwärmaufgaben
Es sei eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung für . Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?
Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .
- Zeige, dass zu einem
Gruppenhomomorphismus
durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
- Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
Es sei eine kommutative Gruppe und ein Körper.
a) Zeige, dass durch
ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von in das Doppeldual gegeben ist.
b) Es sei nun endlich und es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.
Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung heißt Evaluierungsabbildung (zu ).
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und es sei ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung
die einer Untergruppe von eine Untergruppe von zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
b) Unter der kanonischen Abbildung
ist .
c) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann gilt.
Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
und
(zwischen den Untergruppen von und den Untergruppen von ) zueinander invers sind.
Bestimme die Zwischenkörper in Beispiel 16.8.
Ein Element einer Körpererweiterung definiert durch Multiplikation eine -lineare Abbildung
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung . Zeige, dass das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass zwischen und der Multiplikationsabbildung , , beide aufgefasst als - lineare Abbildung von nach , weder die Beziehung
noch die Beziehung
gelten muss.
Über wird auch die Norm von definiert.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der - linearen Abbildung
die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Für alle ist .
- Die Untergruppe ist nur zu sich selbst konjugiert.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein irreduzibles separables Polynom. Es sei vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von kommutativ sei. Zeige, dass dann ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jedem Primpotenzteiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jedem Teiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jeder Ordnung eines Elementes besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Es sei ein Körper.
a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus
gleich ist.
b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass surjektiv ist.
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