Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein ${}K$- Automorphismus. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}\varphi$. Zeige, dass ${}\lambda$ eine Einheitswurzel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\delta \in G^{\vee }$ ein Charakter auf der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Man mache sich die Gleichheit

$L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}=\bigcap _{\varphi \in G}\operatorname {Eig} _{\delta (\varphi )}{\left(\varphi \right)}$

klar.

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{125}$.

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{p^{p}}$.

Aufgabe

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel 16.8 bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von ${}X^{6}+108$ in Beispiel 16.8 und beschreibe, wie die Automorphismen auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind konjugiert?

Aufgabe

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${}P\in \mathbb {Q} [X]$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Aufgabe

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ nachzuweisen.

1. ${}X^{4}+2X^{2}+2$,
2. ${}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4$,
3. ${}X^{4}+9$.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

${}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.$

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{343}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L=K[x]$ eine endliche einfache Körpererweiterung und sei ${}\mu _{x}\colon L\rightarrow L$ die Multiplikation mit ${}x$.

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung ${}\mu _{x}$ bezüglich der Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ mit Hilfe des Minimalpolynoms von ${}x$.

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das charakteristische Polynom zu ${}\mu _{x}$ mit dem Minimalpolynom zu ${}x$ übereinstimmt.

c) Begründe „theoretisch“, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.