Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Aufgabe

Es seien ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ${}F=GH$ ist mit ${}H\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass ${}H\in \mathbb {Z} [X]$ ist.

Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion ${}{\varphi (n)}$ für

${}n\leq 20\,.$

Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.

Aufgabe *

Schreibe den ${}5$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ als quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ für ${}n\leq 15$.

Über einem beliebigen Körper ${}K$ werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}K$ ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}K$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$, eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der ${}(q-1)$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Polynom

${}P=x^{6}-5x^{5}+11x^{4}-13x^{3}+9x^{2}-3x+1\,.$

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in ${}\mathbb {Q} [x,y]$ irreduzibel sind.

a) ${}y^{4}+3x^{2}y^{2}+4x^{7}y+2x$.

b) ${}y^{6}+3xy^{4}+3x^{2}y^{2}+x^{3}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {\varphi (n)}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, sowohl in ${}1$ als auch in ${}{\frac {1}{3}}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom ${}X^{4}+1$ über allen endlichen Primkörpern ${}\mathbb {F} _{p}$ reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass ${}\mathbb {F} _{p^{2}}$ für ${}p\neq 2$ bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n$ eine natürliche Zahl, die wir als ${}n=kp^{a}$ schreiben mit ${}k$ und ${}p$ teilerfremd. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist (mit $q=p^{e}$), wobei ${}q$ die minimale echte Potenz von ${}p$ mit der Eigenschaft ist, dass ${}q-1$ ein Vielfaches von ${}k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${}q$ gibt.

Die nächste Aufgabe ist eine Kollektivaufgabe, die auf Wikiversity bearbeitet werden soll.

Aufgabe (8 Punkte)

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen ${}p$ und für ${}n=1,\ldots ,12$ angibt, welcher endliche Körper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ ist.

(Man trage die Exponenten ${}e$ ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	1	1	2	1	4
3	1
5	1
7	1
11	1
13	1
17	1
19	1
23	1
29	1
31	1
37	1