Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für ${}n\leq 12$, welche der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K_{n}$ zueinander konjugiert sind.

Aufgabe

Bestimme für ${}n\leq 12$, wie viele Unterkörper der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum ${}K_{1}K_{2}$ zu zwei Körpererweiterungen ${}K\subseteq K_{1}$ und ${}K\subseteq K_{2}$ vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq K_{1}$ und ${}K\subseteq K_{2}$ zwei Körpererweiterungen vom Grad ${}d_{1}$ bzw. ${}d_{2}$. Es sei ${}K_{1}K_{2}$ das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung ${}\operatorname {grad} _{K}K_{1}K_{2}\leq d_{1}d_{2}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und ${}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von ${}K$.

a) Zeige, dass die ${}K$- Algebra ${}A=K[X,Y]/(F,G)$ kein Körper sein muss.

b) Es sei ${}K_{1}K_{2}$ das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven ${}K$- Algebrahomomorphismus von ${}A$ nach ${}K_{1}K_{2}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}{\mathbb {F} }_{q_{1}}$ der Körper mit ${}q_{1}=p^{e_{1}}$ und ${}{\mathbb {F} }_{q_{2}}$ der Körper mit ${}q_{2}=p^{e_{2}}$ Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${}{\mathbb {F} }_{q_{1}}$ und ${}{\mathbb {F} }_{q_{2}}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{e}$ und ${}e={\operatorname {KgV} \,\left(e_{1},e_{2},\right)}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

${}{\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper, ${}n\geq 3$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}$, gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}K_{n_{1}}$ und ${}K_{n_{2}}$ zwei Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${}K_{n_{1}}$ und ${}K_{n_{2}}$ gleich ${}K_{n}$ ist, wobei ${}n={\operatorname {KgV} \,\left(n_{1},n_{2}\right)}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}m$ und ${}n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das ${}n$-te Kreisteilungspolynom über dem ${}m$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{m}$ irreduzibel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq K(\zeta )$ die Adjunktion einer ${}n$-ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Satz 19.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über ${}\mathbb {Q}$), dass ${}K\subseteq K(\zeta )$ eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und ${}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von ${}K$, deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die ${}K$- Algebra ${}A=K[X,Y]/(F,G)$ ein Körper ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}F_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}F_{n}\leq F_{n+1}$.