Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 20
- Aufwärmaufgaben
Untersuche für jede Filtrierung von mit Untergruppen, ob eine auflösende Filtrierung vorliegt oder nicht.
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.
Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.
Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.
Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler enthält (nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass nicht auflösbar ist.
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.
Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen
, ,
einfach sind
(das ist eine nichttriviale Aussage). Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen
, , nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.
Es sei eine alternierende Gruppe mit . Zeige, dass nicht kommutativ ist.
Eine Gruppe heißt perfekt, wenn sie gleich ihrer eigenen Kommutatoruntergruppe ist, also wenn gilt.
Es sei eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass perfekt ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für die Permutationsgruppen auflösbar sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine zyklische Gruppe. Zeige, dass genau dann einfach ist, wenn endlich und ihre Ordnung eine Primzahl ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.
Hinweis: Aufgabe 20.11 hilft.
Aufgabe (3 Punkte)
Tipp: Es gibt ein mit .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper. Zeige, dass von
erzeugt wird.
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