Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt

Anhang 7 - Separabler Abschluss

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ und sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom.

Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom ${}G\in K[X]$ mit ${}F=G(X^{p^{e}})$ für ein geeignetes ${}e\in \mathbb {N}$.

Beweis

Da ${}F$ irreduzibel ist, ist der Grad von ${}F$ mindestens ${}1$. Es sei ${}e$ der maximale Exponent derart, dass man ${}F=G(X^{p^{e}})$ mit einem Polynom ${}G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da ${}G$ nicht konstant ist und daher der Grad von ${}G(X^{p^{e}})$ mindestens so groß wie ${}p^{e}$ ist. Das Polynom ${}G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von ${}F$ führt. Wegen der Maximalität von ${}e$ ist ${}G\not \in K[X^{p}]$. Daher ist ${}G'\neq 0$ und somit ist ${}G'$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom ${}G$. Also ist ${}G$ nach Lemma 12.2 separabel.

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Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element ${}x\in L$ heißt separabel, wenn ${}x$ algebraisch über ${}K$ ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element ${}x\in L$ heißt rein-inseparabel, wenn ${}x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom ${}F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.

Ein Element ${}x\in L$, das zu ${}K$ gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja ${}X-x$. In Charakteristik ${}0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$, es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}x\in L$ ein über ${}K$ algebraisches Element.

Dann ist ${}x$ genau dann rein-inseparabel, wenn ${}x^{p^{e}}\in K$ für ein ${}e\in \mathbb {N}$ ist.

Beweis

Es sei ${}x^{p^{e}}=y\in K$. Dann ist ${}X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das ${}x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}K(x)$ die einzige Nullstelle ${}x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist ${}x$ rein-inseparabel.
Es sei nun ${}x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Nach Lemma Anhang 6.1 gibt es ein irreduzibles separables Polynom ${}G\in K[X]$ und ein ${}e\in \mathbb {N}$ mit ${}F=G(X^{p^{e}})$. Es sei ${}d$ der Grad von ${}G$. Es sei ${}K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von ${}G$ und ${}G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von ${}G$ über ${}M$. Wegen der Separabilität von ${}G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei ${}d>1$ hätte auch ${}F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$). Also ist ${}d=1$ und somit ist ${}F=X^{p^{e}}-y$ mit einem ${}y\in K$.

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Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element ${}x\in L$ rein-inseparabel über ${}K$ ist.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}x\in L$ ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über ${}K$ ist.

Dann ist ${}x\in K$.

Beweis

Es sei ${}F\in K[X]$ das Minimalpolynom von ${}x$. Dann besitzt ${}F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt ${}F$ den Grad ${}1$ und somit ist ${}x\in K$.

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Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann gibt es einen Zwischenkörper

${}K\subseteq S\subseteq L\,$

derart, dass ${}K\subseteq S$ separabel und ${}S\subseteq L$ rein-inseparabel ist.

Beweis

Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt/Beweis

$\Box$

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von ${}K$ in ${}L$) versteht man die Teilmenge ${}S\subseteq L$, die aus allen über ${}K$ separablen Elementen aus ${}L$ besteht.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}S$, ${}K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von ${}K$ in ${}L$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}S$ ist ein Körper.
2. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq S$ ist separabel.
3. Die über ${}K$ algebraischen Elemente aus ${}L$ sind rein-inseparabel über ${}S$.
4. Der separable Abschluss von ${}S$ in ${}L$ ist gleich ${}S$.

Beweis

(1). Für zwei Elemente ${}x,y\in S$ ist ${}K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Satz 8.6 über ${}K$ endliche und nach Satz 12.7 separable Körpererweiterung. Also ist ${}K[x,y]\subseteq S$ und ${}S$ ist ein Unterring. Für ${}x\neq 0$ ist auch ${}x^{-1}\in K[x,y]$, sodass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei ${}x\in L$ algebraisch über ${}K$ und sei ${}F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von ${}K$ sei ${}p>0$, andernfalls ist die Aussage klar. Nach Lemma Anhang 6.1 besitzt ${}F$ die Gestalt

${}F=G(X^{q})\,$

mit ${}q=p^{e}$ und einem irreduziblen separablen Polynom ${}G\in K[X]$. Für

${}y=x^{q}\,$

ist ${}G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass ${}y\in S$ ist. Daher ist ${}x$ nach Lemma Anhang 6.4 rein-inseparabel über ${}S$ ist.
(4) folgt aus (3).

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Satz

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}K\subseteq L$ separabel und ${}x\in L$. Das Minimalpolynom ${}F\in K[X]$ von ${}x$ ist separabel, daher ist nach Lemma 12.2 ${}F'(x)\neq 0$. Somit folgt aus

${}0=dF(x)=F'(x)dx\,,$

dass

${}dx=0\,$

ist.
Es sei nun umgekehrt ${}\Omega _{L{|}K}=0$ vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss ${}K\subseteq S\subseteq L$ und müssen ${}S=L$ zeigen.  Wir nehmen an, dass ${}S\neq L$ ist. Dann gibt es eine Kette

${}S\subseteq S(x_{1})\subseteq S(x_{1},x_{2})\subseteq \ldots \subseteq S(x_{1},\ldots ,x_{n})=L\,,$

wobei wir ${}M=S(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\neq L$ annehmen können. Da ${}S\subseteq L$ nach Lemma Anhang 6.8  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Lemma Anhang 6.4 auch ${}M\subseteq L=M(x_{n})$ rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von ${}x_{n}$ über ${}M$ gleich ${}X^{q}-a$ mit ${}a\in M$ und ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$. Also ist ${}L=M[X]/(X^{q}-a)$ und daher ist

${}\Omega _{L{|}M}\cong LdX/(X^{q}-a)'dX\cong LdX\neq 0\,$

nach Fakt *****. Daher ist auch ${}\Omega _{L{|}K}\neq 0$ aufgrund von Fakt ***** im Widerspruch zur Voraussetzung.

$\Box$

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