Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 8
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.
Aufgabe
Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.
Aufgabe *
Es seien und algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch eine algebraische Körpererweiterung ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper. Zeige, dass es außer keine endliche - Unteralgebra gibt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.
- Die Identität ist ein - Algebraautomorphismus.
- Die Verknüpfung von zwei -Algebraautomorphismen und ist wieder ein Automorphismus.
- Die Umkehrabbildung zu einem -Algebraautomorphismus ist wieder ein Automorphismus.
- Die Menge der -Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.
Aufgabe
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren - Algebraautomorphismus gibt.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.
Aufgabe *
Es sei und betrachte die Körpererweiterung
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)
Aufgabe
Es sei eine Körpererweiterung und es sei , , ein Körper-Erzeugendensystem (als Körper) von über . Es seien mit für alle . Zeige, dass ist.
Aufgabe *
Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung, wobei algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch der algebraische Abschluss von in algebraisch abgeschlossen ist.[1]
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über in zwei Variablen. Es sei ein Polynom in der einen Variablen . Zeige, dass durch die Einsetzung und ein - Algebraautomorphismus von in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.
- Fußnoten
- ↑ Die Bezeichnungen wären natürlich schlecht gewählt, wenn dies nicht gelten würde.
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