Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe *
Berechne in .
Aufgabe
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
Aufgabe
Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.
Aufgabe *
Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision
aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.
Aufgabe
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .
b) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .
Aufgabe
Bestimme sämtliche Primkörper.
Aufgabe
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
Aufgabe
Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe (5 Punkte)
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