Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 6

Ringhomomorphismen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring ${}S\subseteq R$ ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung ${}R\rightarrow 0$ in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also ${}0\rightarrow R$, nur bei ${}R=0$ ein Ringhomomorphismus.

Die Charakteristik eines Ringes

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 4.4 genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.

$\Box$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$.

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.

Der Einsetzungshomomorphismus

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten ${}c\in R$ auf ${}\varphi (c)$ und ${}X$ auf ${}a$ gehen. Daher muss ${}X^{j}$ auf ${}a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

$\Box$

Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Es wird ja für die Variable ${}X$ das Element ${}a$ eingesetzt.

Algebren

Definition

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Häufig ist der Ringhomomorphismus, der zum Begriff der Algebra gehört, vom Kontext her klar und wird nicht explizit aufgeführt. Z.B. ist der Polynomring ${}R[X]$ eine ${}R$-Algebra, indem man die Elemente aus ${}R$ als konstante Polynome auffasst. Jeder Ring ${}A$ ist auf eine eindeutige Weise eine ${}\mathbb {Z}$-Algebra über den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \longrightarrow A$, ${}n\longmapsto n_{A}$. Der Begriff der Algebra ist auch für nicht-kommutative Ringe ${}A$ (bei kommutativem Grundring ${}R$) sinnvoll, wobei dann in aller Regel die Voraussetzung gemacht wird, dass die Elemente aus ${}R$ mit allen Elementen aus ${}A$ vertauschen.

Wir werden den Begriff der Algebra vor allem in dem Fall verwenden, wo der Grundring ${}R$ ein Körper ${}K$ ist. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper ${}K$ auffassen. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Eine typische Situation ist dabei, dass ${}\mathbb {Q}$ der Grundkörper ist und ein Zwischenring ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$, gegeben ist. Dann ist ${}L$ über die Inklusion direkt eine ${}\mathbb {Q}$-Algebra.

Wenn man zwei Algebren über einem gemeinsamen Grundring hat, so sind vor allem diejenigen Ringhomomorphismen interessant, die den Grundring mitberücksichtigen. Dies führt zu folgendem Begriff.

Definition

Es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}R$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

einen ${}R$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}R\rightarrow A$ und ${}R\rightarrow B$ verträglich ist.

Zum Beispiel ist jeder Ringhomomorphismus ein ${}\mathbb {Z}$-Algebrahomomorphismus, da es zu jedem Ring ${}A$ überhaupt nur den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow A$ gibt.

Mit dieser Terminologie kann man den Einsetzungshomomorphismus jetzt so verstehen, dass der Polynomring ${}R[X]$ mit seiner natürlichen Algebrastruktur und eine weitere ${}R$-Algebra ${}A$ mit einem fixierten Element ${}a\in A$ vorliegt und dass dann durch ${}X\mapsto a$ ein ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R[X]\rightarrow A$ definiert wird.

Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

$\Box$

Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Lemma 4.9 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Satz 6.7 ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf ${}1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Aufgabe 6.5 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$

Algebraische Elemente und Minimalpolynom

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Wenn ein Polynom ${}P\neq 0$ das algebraische Element ${}f\in A$ annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Wenn ${}f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel

Bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sind die Elemente ${}a\in K$ trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils ${}X-a\in K[X]$ das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über ${}K=\mathbb {Q}$ die komplexen Zahlen ${}{\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ sind dafür ${}X^{2}-2$, ${}X^{2}+1$, ${}X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise ${}X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${}{\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehören.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$

Dessen Kern ist nach Satz 6.7 und nach Satz 3.15 ein Hauptideal, sagen wir ${}{\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir ${}F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom ${}P$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von ${}F$ größer oder gleich dem Grad von ${}P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist ${}P=F$, da beide normiert sind.

$\Box$

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt algebraisch, wenn jedes Element ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$ ist.

Erzeugendensysteme

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}R$-Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra. Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Man kann diese ${}R$-Algebra auch als den kleinsten Unterring von ${}A$ charakterisieren, der sowohl ${}R$ als auch die ${}f_{i}$ enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten ${}K$-Algebren in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach ${}K[f]$, und diese ${}K$-Algebra besteht aus allen ${}K$-Linearkombinationen von Potenzen von ${}f$. Dies ist das Bild unter dem durch ${}X\mapsto f$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus.

Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von ${}L$ betrachten, der sowohl ${}K$ als auch eine Elementfamilie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, enthält. Dieser wird mit ${}K(f_{i},i\in I)$ bezeichnet, und man sagt, dass die ${}f_{i}$ ein Körper-Erzeugendensystem von diesem Körper bilden. Es ist ${}K[f_{i},i\in I]\subseteq K(f_{i},i\in I)$ und insbesondere ${}K[f]\subseteq K(f)$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Der Primkörper von ${}K$ ist der kleinste Unterkörper von ${}K$.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, heißt einfach, wenn es ein Element ${}x\in L$ mit

${}L=K(x)\,$

gibt.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein ${}b\in L$ gibt mit ${}L=K(b)$ und ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}b^{n}\in K$.

Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

${}K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$

derart gibt, dass ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes ${}i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.

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