Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich 0{\displaystyle {}0} ist. Nach Fakt ist der Kern ein Ideal. Da die 1{\displaystyle {}1} auf 1≠0{\displaystyle {}1\neq 0} geht, ist der Kern nicht ganz K{\displaystyle {}K}. Da es nach Fakt in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.