Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 24

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]$ eine quadratische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass es Matrizen ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ derart gibt, dass das charakteristische Polynom aus ${}\mathbb {Q} [X]$ ist, dass in ${}M$ aber auch transzendente Einträge vorkommen.

Aufgabe

Es sei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom und es sei ${}p$ eine zu ${}n$ teilerfremde Primzahl. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, in dem es eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt

$\prod _{0<i<n,\,\,i,n\,{\rm {teilerfremd}}}(X-\zeta ^{i})$

zu ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ gehört und mit ${}\Phi _{n}\!\!\!\mod p$ übereinstimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}Z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl und ${}r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt ${}Z$ und Radius ${}r$ konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P,Q_{1},Q_{2}$ drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände ${}d(P,Q_{1})$ und ${}d(P,Q_{2})$ gleich ${}1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden ${}90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung

$\varphi \colon E=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow E=\mathbb {R} ^{2}$

gibt, die ${}0$ auf ${}P$, ${}1$ auf ${}Q_{1}$ und ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}Q_{2}$ schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl ${}x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von ${}{\sqrt {\pi }}$ kleiner als ${}0{,}00001$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Zahl ${}re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r\left(\cos \varphi ,\,\sin \varphi \right)$ genau dann konstruierbar ist, wenn ${}r$ und ${}e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ konstruierbar sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.

In der folgenden Aufgabe soll eine Eigenschaft bewiesen werden, die in der Tabelle über Kreisteilungspolynome modulo p sichtbar wurde.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom und es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass das Polynom ${}(\Phi _{n}\!\!\!\mod p)\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Produkt von irreduziblen Polynomen ist, die alle den gleichen Grad besitzen.

Tipp: Reduziere auf den Fall, wo ${}n$ und ${}p$ teilerfremd ist.