Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}2y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,2)$ und den Radius ${}5$ gegeben ist.

Aufgabe

Rekapituliere die Strahlensätze.

Aufgabe

Erläutere geometrisch, warum die ${}0$ das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.

Aufgabe

Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden ${}L$ und ${}M$ sei eine weitere Gerade durch ${}P$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, so dass ${}P$ und ${}Q$ Eckpunkte sind und eine Seite auf ${}M$ liegt.

Aufgabe

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand ${}d(P,Q)$ konstruierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K$ und ${}L$, wobei ${}K$ den Mittelpunkt ${}(2,3)$ und den Radius ${}4$ und ${}L$ den Mittelpunkt ${}(5,-1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge ${}M=\{0,1\}$ in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus ${}M$ in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere geometrisch, warum die ${}1$ das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch ${}0$ scheitert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Die folgende Aufgabe ist eine Kollektivaufgabe.

Aufgabe (15 Punkte)

Schreibe Computeranimationen, die die in Lemma 23.6 beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen (über Commons hochladen).