Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 23

Auch Albrecht Dürer hatte Spaß an der Quadratur des Kreises

Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man

1. die Quadratur des Kreises,
2. die Dreiteilung des Winkels,
3. die Würfelverdoppelung.

Dabei sollen diese Konstruktionen ausschließlich mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden, wobei dies natürlich präzisiert werden muss. Nach langen vergeblichen Versuchen, solche Konstruktionen zu finden, ergab sich im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts die Erkenntnis, dass es keine solche Konstruktionen geben kann. Dies erfordert natürlich, dass man eine Übersicht über alle möglichen Konstruktionen erhalten kann.

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Unter der Ebene ${}E$ verstehen wir im Folgenden die Anschauungsebene, die wir später mit ${}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ identifizieren. Zunächst sind die Konstruktionen „koordinatenfrei“. An elementargeometrischen Objekten verwenden wir Punkte, Geraden und Kreise. An elementargeometrischen Gesetzmäßigkeiten verwenden wir, dass zwei verschiedene Punkte eine eindeutige Gerade definieren, dass zwei Geraden entweder identisch sind oder parallel und schnittpunktfrei oder genau einen Schnittpunkt haben, u.s.w.

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Eine Gerade ${}G\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$, ${}P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Man kann also an zwei Punkte aus der vorgegebenen Menge ${}M$ das Lineal anlegen und die dadurch definierte Gerade zeichnen, und man darf die Nadelspitze des Zirkels in einen Punkt der Menge stechen und die Stiftspitze des Zirkels an einen weiteren Punkt der Menge anlegen und den Kreis ziehen.

Wenn ein Koordinatensystem vorliegt, und zwei Punkte ${}P=(p_{1},p_{2})$ und ${}Q=(q_{1},q_{2})$ gegeben sind, so ist die Gleichung der Verbindungsgeraden der beiden Punkte bekanntlich

$(p_{1}-q_{1})y+(q_{2}-p_{2})x+q_{1}p_{2}-q_{2}p_{1}=0.$

Wenn zwei Punkte ${}Z=(z_{1},z_{2})$ und ${}S=(s_{1},s_{2})$ gegeben sind, so besitzt der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ durch den Punkt ${}S$ die Kreisgleichung

$(x-z_{1})^{2}+(y-z_{2})^{2}-(s_{1}-z_{1})^{2}-(s_{2}-z_{2})^{2}=0.$

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_{1},\ldots ,P_{n}=P$

gibt derart, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition

Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Bemerkung

Man startet also mit zwei beliebig vorgegebenen Punkten, die man ${}0$ und ${}1$ nennt und die dann die arithmetische Funktion übernehmen, die mit diesen Symbolen verbunden wird. Als erstes kann man die Gerade durch ${}0$ und ${}1$ ziehen, und diese Gerade wird mit den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ identifiziert. Wir werden gleich sehen, dass man eine zu ${}\mathbb {R}$ senkrechte Gerade durch ${}0$ konstruieren kann, mit deren Hilfe ein kartesisches Koordinatensystem entsteht und mit dem wir die Ebene mit den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ identifizieren können.

In den folgenden Konstruktionen verwenden wir einige Begrifflichkeiten aus der euklidischen Geometrie, wie Winkel, senkrecht, parallel, Strecke und elementare Grundtatsachen wie die Strahlensätze, Symmetriesätze und den Satz des Pythagoras.

Lemma

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

1. Zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.
2. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
3. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
4. Zu einer gegebenen Geraden ${}G$ und einem gegebenen Punkt ${}P$ kann man die Gerade ${}G'$ durch ${}P$ zeichnen, die zu ${}G$ parallel ist.

Beweis

Wir verwenden im Beweis einige elementargeometrische Grundtatsachen. 

1. Wir zeichnen die beiden Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}Q_{1}$ durch ${}Q_{2}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ seien ${}S_{1}$ und ${}S_{2}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf ${}G$ und halbiert die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$.
2. Man zeichnet einen Kreis ${}C$ mit ${}P$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben ${}P$ noch einen weiteren Punkt). Es seien ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade ${}G$ mit ${}C$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch ${}P$ und steht senkrecht auf ${}G$.
3. Wenn ${}P$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit ${}P$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
4. Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten ${}S$ durch ${}P$ wie in (3) beschrieben durch. Mit ${}P$ und ${}S$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.

$\Box$

Arithmetische Eigenschaften von konstruierbaren Zahlen

Lemma

Sei ${}P=(x,y)\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt in der Ebene.

Dann ist ${}P$ genau dann konstruierbar, wenn die beiden Koordinaten ${}x$ und ${}y$ konstruierbar sind.

Beweis

Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die ${}x$-Achse und dann wegen Lemma 23.15 die dazu senkrechte Achse durch ${}0$, also die ${}y$-Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun ${}P$ gegeben ist, so kann man aufgrund von Lemma 23.15  (4) die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den ${}y$-Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die ${}x$-Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G$ eine mit ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es seien zwei Punkte ${}a,b\in G$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen

1. Die Summe ${}a+b$ ist (mit Zirkel und Lineal) konstruierbar.
2. Das Produkt ${}ab$ ist konstruierbar.
3. Bei ${}b\neq 0$ ist der Quotient ${}a/b$ konstruierbar.

Beweis

  (1) Wir verwenden eine zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$ durch ${}0$ und darauf einen Punkt ${}x\neq 0$. Dazu nehmen wir die zu ${}H$ senkrechte Gerade ${}G'$ durch ${}x$, die also parallel zu ${}G$ ist. Wir zeichnen die Gerade ${}H'$, die parallel zu ${}H$ ist und durch ${}a\in G$ verläuft. Der Schnittpunkt von ${}H'$ und ${}G'$ markieren wir als ${}a'$, sodass der Abstand von ${}a'$ zu ${}x$ gleich ${}a$ ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade ${}L$ durch ${}b$ und ${}x$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}L'$ mit ${}G$ ist ${}y=a+b$, da ${}x,b,a',y$ ein Parallelogramm bilden.
  Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$. Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${}1$, ${}a$ und ${}b$ und markieren die entsprechenden Punkte auf ${}H$ als ${}1'$, ${}a'$ und ${}b'$. Dabei wählt man ${}1'$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${}a'$ und ${}b'$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}L$ durch ${}a$ und ${}1'$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}b'$. Diese Gerade schneidet ${}G$ in genau einem Punkt ${}x$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis

${}{\frac {x}{a}}={\frac {b'}{1'}}={\frac {b}{1}}\,.$

Also ist ${}x=ab$.
Um den Quotienten ${}{\frac {a}{b}}$ bei ${}b\neq 0$ zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}T$ durch ${}1$ und ${}b'$ und dazu parallel die Gerade ${}T'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}T'$ mit ${}G$ sei ${}z$. Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung

${}{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}=z\,.$

$\Box$

Satz

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Die ${}0$ und die ${}1$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt ${}P$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt ${}-P$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch ${}P$ und ${}0$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}P$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist ${}-P$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.

Aufgrund von Lemma 23.16 kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Lemma 23.17.

$\Box$

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Unter der Ebene ${}E$ verstehen wir im Folgenden die Anschauungsebene, die wir später mit ${}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ identifizieren. Zunächst sind die Konstruktionen „koordinatenfrei“. An elementargeometrischen Objekten verwenden wir Punkte, Geraden und Kreise. An elementargeometrischen Gesetzmäßigkeiten verwenden wir, dass zwei verschiedene Punkte eine eindeutige Gerade definieren, dass zwei Geraden entweder identisch sind oder parallel und schnittpunktfrei oder genau einen Schnittpunkt haben, u.s.w.

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Eine Gerade ${}G\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$, ${}P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist. Ein Kreis ${}C\subseteq E$ heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Man kann also an zwei Punkte aus der vorgegebenen Menge ${}M$ das Lineal anlegen und die dadurch definierte Gerade zeichnen, und man darf die Nadelspitze des Zirkels in einen Punkt der Menge stechen und die Stiftspitze des Zirkels an einen weiteren Punkt der Menge anlegen und den Kreis ziehen.

Wenn ein Koordinatensystem vorliegt, und zwei Punkte ${}P=(p_{1},p_{2})$ und ${}Q=(q_{1},q_{2})$ gegeben sind, so ist die Gleichung der Verbindungsgeraden der beiden Punkte bekanntlich

$(p_{1}-q_{1})y+(q_{2}-p_{2})x+q_{1}p_{2}-q_{2}p_{1}=0.$

Wenn zwei Punkte ${}Z=(z_{1},z_{2})$ und ${}S=(s_{1},s_{2})$ gegeben sind, so besitzt der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ durch den Punkt ${}S$ die Kreisgleichung

$(x-z_{1})^{2}+(y-z_{2})^{2}-(s_{1}-z_{1})^{2}-(s_{2}-z_{2})^{2}=0.$

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition

Es sei ${}M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt ${}P\in E$ aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_{1},\ldots ,P_{n}=P$

gibt derart, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition

Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$ heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Bemerkung

Man startet also mit zwei beliebig vorgegebenen Punkten, die man ${}0$ und ${}1$ nennt und die dann die arithmetische Funktion übernehmen, die mit diesen Symbolen verbunden wird. Als erstes kann man die Gerade durch ${}0$ und ${}1$ ziehen, und diese Gerade wird mit den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ identifiziert. Wir werden gleich sehen, dass man eine zu ${}\mathbb {R}$ senkrechte Gerade durch ${}0$ konstruieren kann, mit deren Hilfe ein kartesisches Koordinatensystem entsteht und mit dem wir die Ebene mit den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ identifizieren können.

In den folgenden Konstruktionen verwenden wir einige Begrifflichkeiten aus der euklidischen Geometrie, wie Winkel, senkrecht, parallel, Strecke und elementare Grundtatsachen wie die Strahlensätze, Symmetriesätze und den Satz des Pythagoras.

Lemma

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

1. Zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.
2. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
3. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
4. Zu einer gegebenen Geraden ${}G$ und einem gegebenen Punkt ${}P$ kann man die Gerade ${}G'$ durch ${}P$ zeichnen, die zu ${}G$ parallel ist.

Beweis

Wir verwenden im Beweis einige elementargeometrische Grundtatsachen. 

1. Wir zeichnen die beiden Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}Q_{1}$ durch ${}Q_{2}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ seien ${}S_{1}$ und ${}S_{2}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf ${}G$ und halbiert die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$.
2. Man zeichnet einen Kreis ${}C$ mit ${}P$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben ${}P$ noch einen weiteren Punkt). Es seien ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade ${}G$ mit ${}C$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch ${}P$ und steht senkrecht auf ${}G$.
3. Wenn ${}P$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit ${}P$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
4. Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten ${}S$ durch ${}P$ wie in (3) beschrieben durch. Mit ${}P$ und ${}S$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.

$\Box$

Arithmetische Eigenschaften von konstruierbaren Zahlen

Von nun an werden wir stets die Ebene ${}E$ mit der reellen Zahlenebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ bzw. der komplexen Ebene ${}{\mathbb {C} }$ identifizieren. Dies erlaubt es, die geometrischen Objekte und die Konstruktionen mit Hilfe von Koordinaten zu beschreiben.

Lemma

Sei ${}P=(x,y)\in {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt in der Ebene.

Dann ist ${}P$ genau dann konstruierbar, wenn die beiden Koordinaten ${}x$ und ${}y$ konstruierbar sind.

Beweis

Zunächst einmal kann man aufgrund der vorgegebenen Punkte die ${}x$-Achse und dann wegen Lemma 23.15 die dazu senkrechte Achse durch ${}0$, also die ${}y$-Achse, konstruieren. Es steht also das Achsenkreuz zur Verfügung. Wenn nun ${}P$ gegeben ist, so kann man aufgrund von Lemma 23.15  (4) die zu den Achsen parallelen Geraden zeichnen und erhält somit die Koordinatenwerte. Den ${}y$-Wert kann man dann noch mit einem Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt auf die ${}x$-Achse transportieren. Wenn umgekehrt die beiden Koordinaten gegeben sind, so kann man durch diese die senkrechten Geraden zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G$ eine mit ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es seien zwei Punkte ${}a,b\in G$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen

1. Die Summe ${}a+b$ ist (mit Zirkel und Lineal) konstruierbar.
2. Das Produkt ${}ab$ ist konstruierbar.
3. Bei ${}b\neq 0$ ist der Quotient ${}a/b$ konstruierbar.

Beweis

  (1) Wir verwenden eine zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$ durch ${}0$ und darauf einen Punkt ${}x\neq 0$. Dazu nehmen wir die zu ${}H$ senkrechte Gerade ${}G'$ durch ${}x$, die also parallel zu ${}G$ ist. Wir zeichnen die Gerade ${}H'$, die parallel zu ${}H$ ist und durch ${}a\in G$ verläuft. Der Schnittpunkt von ${}H'$ und ${}G'$ markieren wir als ${}a'$, sodass der Abstand von ${}a'$ zu ${}x$ gleich ${}a$ ist. Jetzt zeichnen wir die Gerade ${}L$ durch ${}b$ und ${}x$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}L'$ mit ${}G$ ist ${}y=a+b$, da ${}x,b,a',y$ ein Parallelogramm bilden.
  Zum Beweis von (2) und (3) verwenden wir wieder die zu ${}G$ senkrechte Gerade ${}H$. Wir schlagen Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${}1$, ${}a$ und ${}b$ und markieren die entsprechenden Punkte auf ${}H$ als ${}1'$, ${}a'$ und ${}b'$. Dabei wählt man ${}1'$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${}a'$ und ${}b'$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Um das Produkt zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}L$ durch ${}a$ und ${}1'$ und dazu die parallele Gerade ${}L'$ durch ${}b'$. Diese Gerade schneidet ${}G$ in genau einem Punkt ${}x$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Steckenverhältnis

${}{\frac {x}{a}}={\frac {b'}{1'}}={\frac {b}{1}}\,.$

Also ist ${}x=ab$.
Um den Quotienten ${}{\frac {a}{b}}$ bei ${}b\neq 0$ zu erhalten, zeichnet man die Gerade ${}T$ durch ${}1$ und ${}b'$ und dazu parallel die Gerade ${}T'$ durch ${}a'$. Der Schnittpunkt von ${}T'$ mit ${}G$ sei ${}z$. Aufgrund des Strahlensatzes gilt die Beziehung

${}{\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}=z\,.$

$\Box$

Satz

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Die ${}0$ und die ${}1$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt ${}P$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt ${}-P$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch ${}P$ und ${}0$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}P$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist ${}-P$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.

Aufgrund von Lemma 23.16 kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Lemma 23.17.

$\Box$

Konstruktion von Quadratwurzeln

Wenn man sich zwei Punkte ${}0$ und ${}1$ vorgibt und man die dadurch definierte Gerade mit ${}\mathbb {R}$ identifiziert, so wird diese Gerade durch ${}0$ in zwei Hälften (Halbgeraden) unterteilt, wobei man dann diejenige Hälfte, die ${}1$ enthält, als positive Hälfte bezeichnet. Aus solchen positiven reellen Zahlen kann man mit Zirkel und Lineal die Quadratwurzel ziehen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

Beweis

Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ durch ${}1$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit ${}G$ als ${}-1$. Wir halbieren die Strecke zwischen ${}-1$ und ${}a$ gemäß Lemma 23.15 und erhalten den konstruierbaren Punkt ${}M={\frac {a-1}{2}}\in G$. Der Abstand von ${}M$ zu ${}a$ als auch zu ${}-1$ ist dann ${}{\frac {a+1}{2}}$. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ und Radius ${}{\frac {a+1}{2}}$ und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu ${}G$ senkrechten Geraden ${}H$ durch ${}0$ als ${}x$. Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken ${}0,x,M$ an. Daraus ergibt sich

${}x^{2}={\left({\frac {a+1}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-1}{2}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}+2a+1-(a^{2}-2a+1)}{4}}={\frac {4a}{4}}=a\,.$

Also repräsentiert (der Abstand von ${}0$ zu) ${}x$ die Quadratwurzel aus ${}a$.

$\Box$

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