Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden im Beweis einige elementargeometrische Grundtatsachen. 

1. Wir zeichnen die beiden Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}Q_{1}$ durch ${}Q_{2}$ und umgekehrt. Die beiden Schnittpunkte von ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ seien ${}S_{1}$ und ${}S_{2}$. Deren Verbindungsgerade steht senkrecht auf ${}G$ und halbiert die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$.
2. Man zeichnet einen Kreis ${}C$ mit ${}P$ als Mittelpunkt und einem beliebigen Radius (dazu braucht man neben ${}P$ noch einen weiteren Punkt). Es seien ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ die beiden Schnittpunkte der Gerade ${}G$ mit ${}C$. Für diese beiden Punkte führen wir die in (1) beschriebene Konstruktion durch. Diese Halbierungsgerade läuft dann durch ${}P$ und steht senkrecht auf ${}G$.
3. Wenn ${}P$ auf der Geraden liegt, sind wir schon fertig mit der Konstruktion in (2). Andernfalls zeichnen wir einen Kreis mit ${}P$ als Mittelpunkt mit einem hinreichend großen Radius derart, dass sich zwei Schnittpunkte ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ mit der Geraden ergeben (dafür braucht man, dass mindestens ein weiterer Punkt zur Verfügung steht). Dann führt wieder die erste Konstruktion zum Ziel.
4. Dafür führt man zuerst die Konstruktion der Senkrechten ${}S$ durch ${}P$ wie in (3) beschrieben durch. Mit ${}P$ und ${}S$ führt man dann die Konstruktion (2) durch.

Zur bewiesenen Aussage