Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	3	5	4	3	3	5	5	10	7	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
2. Eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ in einem Körper ${}K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
3. Ein separables Polynom ${}P\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ${}G$.
5. Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid ${}G$ in einen Körper ${}K$.
2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über das Delische Problem.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}\pi +e{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

$P=X^{7129}+105X^{103}+15X+45.$

Bestimme für die folgenden Körper ${}K$, ob ${}P$ irreduzibel in ${}K[X]$ ist.

a) ${}K=\mathbb {Q}$.

b) ${}K=\mathbb {R}$.

c) ${}K=\mathbb {Z} /(2)$.

d) ${}K=\mathbb {Q} [T]/(T^{7129}+105T^{103}+15T+45)$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass ${}\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass ${}\kappa {|}_{K}=\operatorname {Id} _{K}$ genau dann gilt, wenn ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten

$D\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,F\longmapsto F'.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere

$\chi _{1},\chi _{2}\colon G\longrightarrow K$

auf einem Monoid ${}G$ in einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{25}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{25}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{5}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{25}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper ${}{\mathbb {F} }_{625}$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}D=\mathbb {Z} /(n)$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ enthält. Es sei ${}L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung von ${}K$. Beschreibe die Matrizen der ${}K$- Algebraautomorphismen auf ${}L$ (also die Elemente der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$) bezüglich einer geeigneten ${}K$-Basis von ${}L$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ und es seien ${}H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern ${}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und ${}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass der Durchschnitt ${}K_{1}\cap K_{2}$ gleich dem Fixkörper zu ${}H$ ist, wobei ${}H$ die von ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von ${}G$, die sowohl ${}H_{1}$ als auch ${}H_{2}$ enthält).

Aufgabe * (10 (4+6) Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ (in ${}{\mathbb {C} }$) der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente ${}\zeta ^{i}$, ${}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${}n=p$ diese Elemente eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

b) Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n=p^{2}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}G$ eine auflösbare Gruppe und

$q\colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch ${}H$ auflösbar ist.