Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 5
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.
Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern , , in einer Gruppe ein Normalteiler ist.
Es sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 4.4) zugehörigen Gruppenhomomorphismus
Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Satz 5.12.
In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.
Es sei eine Gruppe. Das Zentrum von ist die Teilmenge
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ein Normalteiler in ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus
Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?
Es sei eine Menge und sei eine Partition von , d.h. jedes ist eine Teilmenge von und ist die disjunkte Vereinigung der . Zeige, dass die Produktgruppe
eine Untergruppe von ist.
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass
ist.
Es sei die Menge der invertierbaren -Matrizen über einem Körper . Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen und aus die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , wobei bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus mit gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:
Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien und Gruppen und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ein Normalteiler in ist.
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