Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 4
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
entsprechen.
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus ist.
Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.
Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens
Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
- .
- .
- .
- ().
- .
- ().
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?
Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Was ist der Kern dieser Abbildung?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die Matrix
Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe (1 Punkt)
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
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