Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}a\in L$ . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

\psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$ ).

${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$ ,
${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$ ,
${}1(a)=1$ .

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

die Multiplikation mit ${}f$ . Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Bestimme die Einheiten von ${}\mathbb {Z}$ und von ${}K[X]$ , wobei ${}K$ ein Körper sei.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

F=aF_{1}\cdots F_{r}

mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen ${}F_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,r$ , gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in ${}K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.