Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 2
- Aufwärmaufgaben
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein - Vektorraum ist.
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.
Es sei und es seien die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette
von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?
Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.
Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über einen Körper bildet.
(Dieser Körper wird mit bezeichnet.)
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine - Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte
eindeutig festgelegt ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.
<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >> |
---|