Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 15
- Fixkörper
Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen Unterkörper von handelt. Dies gilt auch dann, wenn eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.
Zur trivialen Untergruppe gehört der Fixkörper , und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).
Es sei ein Körper und die Automorphismengruppe von . Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Für Untergruppen ist .
- Für Unterkörper ist .
- Für eine Untergruppe ist .
- Für einen Unterkörper ist .
Beweis
- Charakterisierung von Galoiserweiterungen
Wir streben eine umfassende Charakterisierung von Galoiserweiterungen an, was einige Vorbereitungen erfordert.
Es sei ein Körper und sei eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei .
Dann ist eine algebraische Körpererweiterung, die normal und separabel ist.
Für jedes ist der Grad des Minimalpolynoms von über maximal gleich .
Es sei fixiert. Wir betrachten die endliche Menge
wobei sei. Wir setzen
(). Es ist . Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten dieses Polynoms zu gehören. Es sei dazu . Dann ist
Daher ist . Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper und daher ist . Dies bedeutet, dass algebraisch über ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad
besitzt. Da über in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.
Der folgende Satz heißt Satz von Artin.
Es sei ein Körper und sei eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von . Es sei .
Dann ist
Insbesondere ist eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe .
Nehmen wir an, dass
ist. Wir können annehmen, dass
endlich
über ist, da wir durch einen
(über endlichen)
Zwischenkörper der Form mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach
Lemma 15.4
ist die Körpererweiterung
separabel
und nach
dem Satz vom primitiven Element
kann man
schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu
Lemma 15.4
ergibt. Also ist
eine endliche Körpererweiterung mit
.
Nach
Satz 13.5
muss hierbei Gleichheit gelten.
Die Inklusion
ist trivial. Da nach
Satz 13.5
schon die maximal mögliche Anzahl von -Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.
Der nächste Satz fasst die verschiedenen Charakterisierungen einer Galoiserweiterung zusammen.
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- Die Körpererweiterung ist eine Galoiserweiterung.
- Es ist .
- Die Körpererweiterung ist normal und separabel.
- ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms .
Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette . Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist
Nach dem
Satz von Artin
ist
,
also ist
.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus
Lemma 15.4.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus
Satz 14.5.
Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben
.
Die
Minimalpolynome
der zerfallen wegen der Normalität in in Linearfaktoren. Daher können wir
Lemma 12.6
mit
anwenden und erhalten
Einbettungen von nach
(über ),
und somit besitzt die Galoisgruppe Elemente.
Es sei eine endliche Galoiserweiterung und , , ein Zwischenkörper.
Dann ist auch eine Galoiserweiterung.
Nach Lemma 14.2 (3) ist eine normale Körpererweiterung. Nach Lemma 12.4 ist sie auch separabel. Somit handelt es sich aufgrund von Satz 15.6 um eine Galoiserweiterung.
- Endliche Körper als Galoiserweiterung
Wir besprechen zuerst endliche Körper im Rahmen der Galoistheorie.
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
Zu jeder Primzahl und jedem Exponenten gibt es nach Satz 11.9 einen eindeutig bestimmten endlichen Körper mit Elementen.
Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .
Dann ist der Frobeniushomomorphismus
ein Automorphismus, dessen Fixkörper ist.
Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 6.8, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Lemma 3.14 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)). Wegen werden die Elemente aus auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es Elemente in mit . Mehr kann es wegen Korollar Anhang 1.5 nicht geben.
Es sei eine Primzahl und , .
Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
Es sei
der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 15.9 ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt
Bei ist nach Korollar 4.17 für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar Anhang 1.5 widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 13.5 kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.
Es sei eine Primzahl und . Es seien und endliche Körper mit bzw. Elementen.
Dann ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Teiler von ist.
In diesem Fall ist eine Galoiserweiterung vom Grad mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die von der -ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.
Sei . Wenn ein Unterkörper von ist, so ist ein -Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von eine Potenz von sein. Aus
Es sei umgekehrt ein Teiler von . Die Frobeniusiteration auf erzeugt eine Untergruppe der nach
Satz 15.10
zyklischen Galoisgruppe von
.
Die Ordnung von ist . Es sei
der zugehörige
Fixkörper.
Dann besitzt die Körpererweiterung
nach
Korollar 15.7
den
Grad
und somit besitzt
den Grad . Daher besitzt gerade Elemente und ist daher wegen
Satz 11.9
isomorph zu .
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