Satz von Artin/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Gradgleichung/Fakt/Beweis
Beweis
Nehmen wir an, dass
ist. Wir können annehmen, dass
endlich
über ist, da wir durch einen
(über endlichen)
Zwischenkörper der Form mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach
Fakt
ist die Körpererweiterung
separabel
und nach
dem Satz vom primitiven Element
kann man
schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu
Fakt
ergibt. Also ist
eine endliche Körpererweiterung mit
.
Nach
Fakt
muss hierbei Gleichheit gelten.
Die Inklusion
ist trivial. Da nach
Fakt
schon die maximal mögliche Anzahl von -Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.