Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${}{\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen ${}\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt

${}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$

Bei ${}k=m$ ist nach Fakt ${}x^{p^{m}}=x$ für alle ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist ${}\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für ${}k<m$ kann ${}\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es ${}m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

Zur bewiesenen Aussage