Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 13

Automorphismen und Nullstellen

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow S(\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})$

der Galoisgruppe in die Permutationsgruppe der Nullstellen.

Beweis

Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Nach Lemma 8.15 ist ${}\varphi (\alpha _{i})$ wieder eine Nullstelle von ${}F$, daher muss ${}\varphi {\left(\alpha _{i}\right)}=\alpha _{j}$ für ein gewisses ${}j$ sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da ${}\varphi$ injektiv ist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nach Lemma 3.14 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)) bijektiv und somit eine Permutation. Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nach Lemma 8.14 ein injektiver Homomorphismus vor.

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Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Zwei über ${}K$ algebraische Elemente ${}\alpha ,\beta \in A$ heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es seien ${}\alpha$ und ${}\beta$ konjugierte Elemente aus ${}L$. Es sei ${}L$ der Zerfällungskörper des gemeinsamen Minimalpolynoms ${}F$ dieser beiden Elemente.

Dann gibt es einen ${}K$- Algebraautomorphismus ${}\varphi$ von ${}L$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$.

Beweis

Zunächst gibt es wegen

${}K[\alpha ]\cong K[X]/(F)\cong K[\beta ]\,$

einen ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi$ von ${}K[\alpha ]$ nach ${}K[\beta ]$. Der Körper ${}L$ ist über diesen beiden Unterkörpern der Zerfällungskörper von ${}F$. Daher gibt es nach Satz 11.5 einen ${}K$-Algebraautomorphismus von ${}L$ nach ${}L$, der ${}\varphi$ fortsetzt.

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Das Lemma von Dedekind

Richard Dedekind (1831-1916)

Die Menge der Charaktere auf einem Monoid ${}G$ in einen Körper ${}K$, also ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$, ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoids von ${}G$ nach ${}K^{\times }$. Da Charaktere insbesondere Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$ sind, kann man von Linearkombinationen von Charakteren sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.

Satz

Es sei ${}G$ ein Monoid, ${}K$ ein Körper und ${}\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien ${}n$ Charaktere.

Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ${}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$).

Beweis

Es sei

${}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$

wobei die ${}\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle ${}a_{i}\in K$ von ${}0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${}n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ${}\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest ${}n\geq 2$. Wegen ${}\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein ${}g\in G$ mit

${}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$)

${}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$

Für ein beliebiges ${}h\in G$ ist nämlich

${}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${}\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${}\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen ${}a_{2}\neq 0$ und der Wahl von ${}g$) lineare Relation zwischen ${}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${}n$.

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Galoiserweiterungen

Aus dem Lemma von Dedekind ergibt sich eine direkte Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer endlichen Körpererweiterung.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$

Beweis

Nach Satz 8.16 ist ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen ${}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen ${}m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also ${}m>n$ an. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$. Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.$

Ihr Rang ist maximal gleich ${}n$, da sie nur ${}n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${}m$ Spalten, sagen wir

${}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei nicht alle ${}b_{j}$ gleich ${}0$ sind. Wir betrachten nun

$\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},$

wobei wir die Automorphismen ${}\varphi _{j}$ als Charaktere von ${}L^{\times }$ nach ${}L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${}v\in L$ schreiben wir ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes ${}i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Satz 13.4 nicht sein kann.

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Eine wichtige Frage ist, wann in der vorstehenden Abschätzung Gleichheit vorliegt. Dies machen wir zur Grundlage der folgenden Definition. Wir werden später noch viele äquivalente Eigenschaften kennenlernen.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung.

Beweis

Siehe Aufgabe 13.6.

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Die vorstehende Aussage ist ein Spezialfall der Aussage, dass graduierte Körpererweiterungen unter der Voraussetzung, dass hinreichend viele Einheitswurzeln im Grundkörper vorhanden sind, Galois-Erweiterungen sind. Dazu brauchen wir ein vorbereitendes Lemma.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind ${}G$ und ${}G^{\vee }$ isomorphe Gruppen.

Beweis

Nach Lemma 9.10  (2) und Korollar Anhang 4.2 kann man annehmen, dass ${}G=\mathbb {Z} /(n)$ eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ist durch ${}\zeta =\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, und wegen

${}\zeta ^{n}=(\varphi (1))^{n}=\varphi (n)=\varphi (0)=1\,$

ist ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder ${}n$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ durch die Zuordnung ${}1\mapsto \zeta$ nach Lemma 4.4 und Satz 5.10 einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z} /(n)$ nach ${}K^{\times }$ definieren. Die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$. Also gibt es ${}n$ solche Homomorphismen. Wenn ${}\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch ${}1\mapsto \zeta$ festgelegte Homomorphismus die Ordnung ${}n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${}K$ enthalte eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$.

Beweis

Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mit Lemma 13.8 und Lemma 9.7  (2) sichern

${}{\#\left(D^{\vee }\right)}={\#\left(D\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,.$

Nach Lemma 9.11 ist

${}{\#\left(D^{\vee }\right)}\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,.$

Also ist

${}\operatorname {grad} _{K}L\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,,$

und somit haben wir nach Satz 13.5 hier Gleichheit, also liegt eine Galoiserweiterung vor. Damit ist auch der nach Lemma 9.11 injektive Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

bijektiv.

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Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}a\in K$ derart, dass das Polynom ${}X^{n}-a$ irreduzibel sei. Dann ist

${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{n}-a\right)}\,$

eine nach Beispiel 9.4 ${}D=\mathbb {Z} /(n)$- graduierte Körpererweiterung, und nach Satz 13.9 handelt es sich um eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$. Dabei ist ${}L$ auch der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-a$. Wenn ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet, so sind die ${}n$ verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich

$\zeta x{\text{ mit }}\zeta \in \mu _{n}(K)={\left\{z\in K\mid z^{n}=1\right\}},$

die allesamt homogene Elemente der Stufe ${}1\in D$ sind. Ein Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ bzw. der zugehörige Automorphismus ${}\varphi _{\chi }$ operiert gemäß Lemma 13.1 auf dieser Nullstellenmenge ${}M$ (die nichtkanonisch isomorph zu $\mu _{n}(K)$ ist) durch

$\varphi _{\chi }\colon M\longrightarrow M,\,\zeta x\longmapsto \chi (1)\zeta x.$

Die graduierende Gruppe ${}D$, sein Charakterdual ${}D^{\vee }$, die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\mu _{n}(K)$, die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und die Nullstellenmenge ${}M$ bestehen aus ${}n$ Elementen, die Permutationsgruppe von ${}M$ besteht somit aus ${}n!$ Elementen. Zu je zwei Nullstellen ${}x_{1}=\zeta _{1}x$ und ${}x_{2}=\zeta _{2}x$ gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation ${}x_{1}$ in ${}x_{2}$ überführt, nämlich derjenige Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (1)=\zeta _{2}\zeta _{1}^{-1}$.

Bei ${}K=\mathbb {Q}$ und ${}L=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}$ sind ${}M=\{{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen ${}2!=2$ rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.

Bei ${}K=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und ${}X^{4}-3\in K[X]$ ist ${}L=K[X]/{\left(X^{4}-3\right)}$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind ${}{\sqrt[{4}]{3}},\,-{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und ${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Die Irreduzibilität von ${}X^{4}-3$ ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu ${}K[X]$ gehört. Jeder Charakter ${}\chi$ ist durch ${}\chi (1)$ bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit ${}\chi (1)$. Bei ${}\chi (1)=-1$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$, bei ${}\chi (1)={\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und bei ${}\chi (1)=-{\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Unter den ${}24$ Permutationen rühren also nur ${}4$ von einem Charakter her, eine Permutation wie ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow {\sqrt[{4}]{3}}$, ${}-{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}}$, und ${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ z.B. nicht.

Fußnoten

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