Graduierte endliche Körpererweiterung/Unitär/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}K\subseteq L$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Jede homogene Stufe ${}L_{d}$ besitzt die ${}K$-Dimension ${}1$.
2. Es ist ${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(D\right)}$.
3. Es sei ${}D=(d_{1},\ldots ,d_{m})$ ein Erzeugendensystem von ${}D$ und es sei ${}x_{i}\in L_{d_{i}}$, ${}x_{i}\neq 0$, fixiert. Dann ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$. Insbesondere wird ${}L$ von homogenen Elementen erzeugt.
4. Jedes homogene Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, besitzt ein Minimalpolynom der Form ${}X^{n}-a$ mit ${}a\in K$.
5. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Radikalerweiterung.

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