Graduierte endliche Körpererweiterung/Unitär/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist ${}L_{d}\neq 0$. Es seien ${}a,b\in L_{d}$ von ${}0$ verschieden und sei ${}c\in L_{-d}$ ebenfalls ${}\neq 0$. Dann sind ${}ca$ und ${}cb$ Elemente ${}\neq 0$ in ${}L_{0}=K$ und daher besteht die Beziehung ${}ca=\lambda cb$ mit ${}\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit ${}c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu ${}a=\lambda b$.
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von ${}d\in D$. Für ein homogenes Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, ist daher

${}a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$

Also ist ${}X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).

Zur bewiesenen Aussage